Quellentransformationssatz – Formel und Beispiele

Quellentransformationssatz – Aus den vorherigen Beiträgen haben wir etwas über Reihen- und Parallelschaltung sowie die Stern-Delta-Transformation gelernt. Diese Methoden werden uns bei der Vereinfachung eines Stromkreises sehr helfen. Eine weitere Methode, die wir verwenden können, ist die Quelltransformation.

Ein Stromkreis besteht aus aktiven und passiven Elementen. Wie Sie bereits wissen, können die aktiven Elemente Energie erzeugen, während die passiven Elemente nur Energie absorbieren oder in eine andere Energieform umwandeln. Die am häufigsten verwendeten aktiven Elemente sind Spannungsquelle und Stromquelle. Beide lassen sich noch einmal in unabhängige und abhängige Quellen unterteilen.

Wenn wir von einer unabhängigen Quelle sprechen, ist die gespeicherte Energie (Spannung oder Strom) ein fester Wert. Andererseits hängt der Wert der abhängigen Quelle von anderen Variablen im Stromkreis ab (Spannung oder Strom an einer bestimmten Stelle).

Quellentransformationsschaltungen

Die Komplexität elektrischer Schaltkreise kann je nach Anwendung unterschiedlich sein. Neben dem grundlegenden Ohmschen Gesetz und den Kirchhoffschen Gesetzen gibt es auch die Sätze zur Analyse elektrischer Schaltkreise:

• Superpositionssatz.
• Thevenin-Theorem.
• Norton-Theorem.
• Millman-Theorem.

Zusätzlich zu den vier oben genannten können wir auch die Quelltransformation verwenden.

Die Quellenumwandlung beinhaltet die Umwandlung der Spannungsquelle in eine Stromquelle und umgekehrt. Natürlich gibt es bestimmte Verfahren, die wir befolgen müssen. Die vollständige Erklärung finden Sie weiter unten.

Die Quellentransformation funktioniert nach dem Äquivalenzprinzip. Wir erinnern uns, dass der Begriff Äquivalent einer Schaltung ist, bei der die v-i-Eigenschaften mit der ursprünglichen Schaltung identisch sind.

Grundlegend für diese Tools ist das Konzept der Äquivalenz. Wir erinnern uns, dass ein Ersatzschaltkreis ein Schaltkreis ist, dessen v-i-Eigenschaften mit dem Originalschaltkreis identisch sind.

Was ist die Quelltransformationsregel?

Bei der Quellentransformation wird das Ohmsche Gesetz verwendet, um eine vorhandene Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand, durch eine parallel geschaltete Stromquelle mit demselben Widerstand oder umgekehrt zu ersetzen. Die transformierten Quellen gelten als identisch und können in einem Stromkreis gegeneinander ausgetauscht werden.

Quelltransformationsformel

Wir erinnern uns, dass Gleichungen zur Knotenspannungs– oder Maschenstromanalyse mit einer einfachen Inspektion des Schaltkreises geschrieben werden, wenn es sich bei den Quellen um unabhängige Spannungsquellen oder unabhängige Stromquellen handelt.

Es ist sehr praktisch, eine Spannungsquelle, die in Reihe mit einem Widerstand geschaltet ist, und eine Stromquelle, die parallel zu einem Widerstand geschaltet ist, ersetzen zu können. Das Beispiel dieser Idee ist in Abbildung (1) zu sehen. Jede Ersetzung wird als Quellentransformation bezeichnet.

Abbildung 1. Quelltransformation

Eine Quellentransformation ist der Vorgang, bei dem eine Spannungsquelle vs in Reihe mit einem Widerstand R durch eine Stromquelle parallel zu einem Widerstand R ersetzt wird oder umgekehrt.

Auf den ersten Blick scheinen die beiden Schaltkreise in Abbildung (2) unterschiedlich zu sein, tatsächlich sind sie jedoch gleichwertig, da sie an den Anschlüssen a-b die gleichen V-I-Kennlinien aufweisen.

Abbildung 2. Quelltransformation

Woher wissen wir, dass diese Schaltkreise gleichwertig sind?

Wenn wir ihre Quellen abschalten, beträgt der äquivalente Widerstand bei a-b in beiden Stromkreisen R.

Wenn wir a-b kurzschließen:

• Im Stromkreis auf der Oberseite fließt ein Kurzschlussstrom durch a-b bei i_sc=v_s/R.
• Der Schaltkreis auf der Unterseite hat i_sc=i_s.

Daher benötigen wir die v-i-Eigenschaften v_s/R=i, um zwei Schaltkreise äquivalent zu machen. Daraus schließen wir, dass die Quelltransformationsformel wie folgt geschrieben wird:

Wir können nicht nur für unabhängige Quellen, sondern auch für abhängige Quellen eine Quelltransformation implementieren.

Wir können das Beispiel in Abbildung (2) sehen, wo wir eine abhängige Spannungsquelle haben, die mit einem Widerstand in Reihe geschaltet ist. Wir wandeln dies in eine abhängige Stromquelle um, die parallel zum gleichen Widerstand geschaltet ist oder umgekehrt. Wir verwenden auch die obige Gleichung (1), um die Äquivalenzregel zu erfüllen.

Das Gleiche gilt für die Stern-Delta-Transformation. Diese Quellentransformation hat keine Auswirkungen auf den Rest der Schaltung. Dies ist eine leistungsstarke Methode zur Manipulation von Schaltkreisen für eine einfachere Analyse.

Bei der Quelltransformation sollten wir jedoch die folgenden Punkte beachten.

1. Beachten Sie anhand der Abbildungen (1) oder (2), dass der Pfeil der Stromquelle auf den Pluspol der Spannungsquelle gerichtet ist.
2. Beachten Sie aus Gleichung (1), dass eine Quellentransformation nicht möglich ist, wenn R = 0, was bei einer idealen Spannungsquelle der Fall ist. Für eine praktische, nicht ideale Spannungsquelle ist jedoch R ≠ 0. Ebenso kann eine ideale Stromquelle mit R = ∞ nicht durch eine endliche Spannungsquelle ersetzt werden.

Jetzt kommt die wichtige Frage.

Können Sie eine Quelltransformation mit abhängigen Quellen durchführen?

Der Quellentransformationssatz ist auf Schaltkreise mit abhängigen Quellen anwendbar.

Quellenumwandlung von Strom in Spannung

Sehen Sie sich das Schaltungsbeispiel unten an, um zu verstehen, wie Sie Strom in Spannung umwandeln. Natürlich hat die Schaltung eine Stromquelle und wir müssen sie in eine Spannungsquelle umwandeln.

Mit der folgenden Formel können wir die Stromquelle in eine Spannungsquelle umwandeln.

Quellenumwandlung von Spannung in Strom

Sehen Sie sich das Schaltungsbeispiel unten an, um zu verstehen, wie eine Quellenumwandlung von Spannung in Strom durchgeführt wird. Natürlich hat die Schaltung eine Spannungsquelle und wir müssen sie in eine Stromquelle umwandeln.

Mit der folgenden Formel können wir die Stromquelle in eine Spannungsquelle umwandeln.

Beispiele für Quelltransformationen

Zum besseren Verständnis sehen wir uns die Quelltransformationsprobleme mit den folgenden Lösungen an:

1.) Verwenden Sie die Quelltransformation, um v_o in der Schaltung von Abbildung (3) zu finden.

Abbildung 3

Lösung :

Wir transformieren zunächst die Strom- und Spannungsquellen, um die Schaltung in Abbildung (4a) zu erhalten. Die Stromquelle wird durch eine Spannungsquelle ersetzt durch:

Abbildung 4.(a)

Durch die Reihenschaltung der 4-Ω- und 2-Ω-Widerstände entsteht ein 6-Ω-Widerstand. Durch Umwandeln der 12-V-Spannungsquelle erhalten wir Abbildung (4b). Der aktuelle Quellwert wird geschrieben von:

Abbildung 4.(b)

Wir kombinieren nun die 3 Ω- und 6 Ω-Widerstände parallel, um 2 Ω zu erhalten.

Wir kombinieren auch die 2-A- und 4-A-Stromquellen, um 2-A-Quellen zu erhalten. Durch wiederholte Anwendung von Quelltransformationen erhalten wir somit die Schaltung in Abbildung (4c).

Abbildung 4.(c)

Wir verwenden die aktuelle Division in Abbildung (4c), um zu erhalten

Und

Da alternativ die Widerstände mit 8 Ω und 2 Ω in Abbildung (4c) parallel geschaltet sind, liegt an ihnen die gleiche Spannung v_o an. Somit,

2.) Finden Sie v_x in Abbildung (5) mithilfe der Quelltransformation.

Abbildung 5

Hier erfahren wir etwas über die Quellentransformation mit abhängigen Quellen.

Die Schaltung in Abbildung (5) beinhaltet eine spannungsgesteuerte abhängige Stromquelle. Wir transformieren diese abhängige Stromquelle sowie die unabhängige 6-V-Spannungsquelle wie in Abbildung (6a) gezeigt. Die 18-V-Spannungsquelle wird nicht transformiert, da sie mit keinem Widerstand in Reihe geschaltet ist.

Abbildung 6.(a)

Die beiden parallel geschalteten 2-Ω-Widerstände ergeben zusammen einen 1-Ω-Widerstand, der parallel zur 3-A-Stromquelle liegt.

Abbildung 6.(b)

Die Stromquelle wird in eine Spannungsquelle umgewandelt, wie in Abbildung (6b) gezeigt. Beachten Sie, dass die Anschlüsse für v_x intakt sind. Das Anwenden von KVL um die Schleife in Abbildung (6b) ergibt

Das Anwenden von KVL auf die Schleife, die nur die 3-V-Spannungsquelle, den 1-Ω-Widerstand und v_x enthält, ergibt

Wenn wir dies in (2.1) einsetzen, erhalten wir

Alternativ können wir KVL auf die Schleife anwenden, die v_x, den 4-Ω-Widerstand, die spannungsgesteuerte abhängige Spannungsquelle und die 18-V-Spannungsquelle in Abbildung (6b) enthält. Wir bekommen

Daher,