Knoopspanning Analyse Circuit en Voorbeeld - Wira Elektrotechniek Portal

Als de vergelijkingen niet correct worden weergegeven, gebruik dan de bureaubladweergave

Contents show

Knoopspanning analyse vindt de spanningsdalingen rond een circuit tussen verschillende knooppunten. Deze knooppunten bieden een gemeenschappelijke verbinding voor twee of meer circuitcomponenten.

KCL en KVL zijn bijna voldoende voor het analyseren van een elektrisch circuit met minder complexiteit. We krijgen meer vergelijkingen als we KVL of KCL gebruiken voor circuits met complexere takken, knooppunten en elementen.

Je zult jezelf belasten met veel vergelijkingen om op te lossen.

Wat gaan we dan doen? Het zal veel werk zijn als we eliminatie en substitutie moeten gebruiken voor meer dan 4 vergelijkingen.

Dit is waar we drie krachtige technieken voor circuit analyse zullen gebruiken:

We laten de mesh-analyse voor een later bericht. Laten we ons nu concentreren op Nodal Voltage Analysis of Nodal Analysis Circuit.

Zoals de naam al aangeeft, zullen we de knooppunt spanningsmethode gebruiken met betrekking tot de aarde, we noemen het knooppunt spanningsanalyse.

Wat is knoopspanning analyse?

Nodale analysecircuits vullen elkaar aan met mesh-analysecircuits. Het knoopanalysecircuit gebruikt de eerste wet van Kirchhoff, de huidige wet van Kirchhoff (KCL). Zoals we hierboven vermeldden, impliceert de naam dat we knooppuntspanningen gebruiken en deze samen met de KCL gebruiken.

Knooppuntanalyse vereist dat we knooppuntspanningen in elk knooppunt berekenen met betrekking tot de aardspanning (referentieknooppunt), daarom noemen we het de knooppuntspanningsmethode.

Nodale analyse is gebaseerd op een systematische toepassing van de huidige wet van Kirchhoff (KCL). Met deze techniek kunnen we elk lineair circuit analyseren.

Wat moet u voorbereiden voordat u deze methode gebruikt? Houd er rekening mee dat we ‘n-1’-vergelijkingen krijgen, waarbij n het aantal knooppunten is inclusief het referentieknooppunt. Door deze circuitanalysemethode te gebruiken, zullen we ons concentreren op knooppuntspanningen in het circuit.

Knoopanalyse circuit eigenschappen:

Nodale analyseschakeling maakt gebruik van de huidige wet van Kirchhoff (KCL)
Voor de ‘n’ knooppunten (inclusief referentieknooppunt) zijn er ‘n-1’ onafhankelijke knooppuntspanningsvergelijkingen
Als we alle vergelijkingen oplossen, krijgen we de waarde van de knoopspanningen
Het aantal knooppunten (behalve niet-referentieknooppunten) is gelijk aan het aantal knooppuntspanningsvergelijkingen dat we kunnen krijgen.

Wat is knooppuntspanning?

Laten we, voordat we verder gaan, definiëren ‘wat is knooppuntspanning’.

Merk op bij het bovenstaande circuit, waar v₁, v₂ en v₃ de knooppuntspanningen zijn, die het corresponderende knooppunt verbinden met element/s en een ander knooppunt.

Niet alleen dat, maar we moeten ook een referentieknooppunt (aarde) definiëren, vandaar dat dit knooppunt altijd een grondknooppunt wordt genoemd. Deze knooppuntspanning is dus 0 V.

We hebben veel gelezen over knooppuntspanning. Maar wat is knooppuntspanning eigenlijk?

Knoopspanning betekent het potentiaalverschil (spanning) tussen twee knooppunten waar het element of de tak aanwezig is. De knoopanalyse geeft ons een wiskundige vergelijking voor elk niet-referentieknooppunt waarbij de som van de stromen in een knoop nul is.

Er zijn twee soorten knooppunten:

Referentieknooppunten: referentieknooppunten zijn het grondknooppunt
Niet-referentieknooppunten: de knooppuntspanningen die worden gebruikt voor het oplossen van het circuit (v₁, v₂, v₃, … , v_n)

Knoopanalyse met weerstand

Deze is de meest eenvoudige omdat bijna elk circuit ten minste één weerstand zal bevatten. Stel dat we een weerstand hebben tussen twee knooppunten en dat de stroom van knooppunt V₁ naar V₂ vloeit:

En dan krijgen we de vergelijking:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Dat is de vergelijking voor een weerstand tussen een knoop.

Wat als knooppunt 2 aarde (referentieknooppunt) is, zoals hieronder weergegeven?

De vergelijking zal hetzelfde zijn als hierboven, maar we zullen de V₂ instellen op 0 omdat het een grondknooppunt is.

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-0}{R}=\frac{V_{1}}{R}\end{align*}$

Knoopanalyse met spanningsbron

Het komt vaak voor dat een tak bestaat uit een spanningsbron in een weerstand, zoals hieronder weergegeven:

We moeten zorgen voor de polariteit van de spanningsbron. Uit de bovenstaande afbeelding is de positieve polariteit van de spanningsbron gericht tegen V₁ en I. Dit betekent dat de stroom van de spanningsbron tegen I en V₁ stroomt. De vergelijking zal zijn:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Als de spanningsbron naar rechts wijst, betekent dit dat de stroom I wordt opgeteld bij de stroom van Vs.

Vandaar,

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}+V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Als de V₂ een referentieknooppunt is, hoeft u alleen de V₂ zoals eerder op 0 in te stellen.

Knoopanalyse met huidige bron

We gebruiken knoopanalyse om met KCL te werken, waarbij we de huidige vergelijking verkrijgen met behulp van bekende knoopspanningen. Wat gebeurt er als er een huidige bron is? Dit zal onze vergelijking eenvoudiger maken. Kijk eerst naar de onderstaande figuur.

We stellen zowel I₁ als I₂ in om het knooppunt V₁ te verlaten terwijl de huidige bron Is het knooppunt V₁ binnengaat. Vanaf de KCL zijn de stromen die een knooppunt verlaten gelijk aan de stromen die dat knooppunt binnenkomen.

De vergelijking zal zijn:

$\begin{align*}I_{s}&=I_{1}+I_{2}\\I_{s}&=\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}\end{align*}$

Als de huidige bron het knooppunt V₁ verlaat, is de vergelijking:

$\begin{align*}-I_{s}+I_{1}+I_{2}&=0\\-I_{s}+\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}&=0\end{align*}$

Nodale analyse circuit procedure

Bekijk het onderstaande circuit voor onze eerste oefening. Het circuit heeft drie weerstanden en twee stroombronnen die allemaal parallel zijn aangesloten. Waarom gebruiken we alleen actuele bronnen? Aan het einde van dit onderwerp krijgt u het antwoord waarom we op dit moment alleen actuele bronnen gebruiken.

Verder gaan,

De eerste stap is het definiëren van een knooppunt als het referentie- of datumknooppunt of het grondknooppunt. Het referentieknooppunt wordt meestal de grond genoemd, omdat wordt aangenomen dat het nulpotentiaal heeft.

De tweede stap, we wijzen spanningsaanduidingen toe aan referentieknooppunten.

Kijk hieronder waar knooppunt 0 het referentieknooppunt is (v = 0), terwijl knooppunten 1 en 2 respectievelijk de spanningen v₁ en v₂ krijgen.

Onthoud dat knooppuntspanningen worden gedefinieerd met betrekking tot het referentieknooppunt. Elke knooppuntspanning is de spanningsstijging van het referentieknooppunt naar het niet-referentieknooppunt of eenvoudigweg van het spanningsknooppunt naar het referentieknooppunt.

De derde stap is om KCL toe te passen op elk niet-referentieknooppunt in het circuit. We gebruiken i₁, i₂ en i₃ als de stromen die respectievelijk door de weerstanden R₁, R₂ en R₃ vloeien.

Bij knooppunt 1 passen we KCL toe en geeft

$\begin{align*}I_{1} = I_{2} + i_{1} + i_{2}\end{align*}$

Op knooppunt 2 geeft

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} = i_{3}\end{align*}$

We passen de wet van Ohm toe om de onbekende waarde van i₁, i₂ en i₃ uit te drukken in termen van knoopspanningen.

Aangezien de weerstand een passief element is, moet de stroom altijd van een hoger potentiaal naar een lager potentiaal vloeien, waarbij de passieve tekenconventie wordt gebruikt.

Stroom vloeit van een hogere potentiaal naar een lagere potentiaal in een weerstand.

We kunnen dit principe gebruiken als,

$\begin{align*}i = \frac{v_{higher}-v_{lower}}{R}\end{align*}$

We verkrijgen de stromen van,

$\begin{align*}i_{1} = \frac{v_{1}-0}{R_{1}} \quad , \quad i_{1}=G_{1}v_{1}\\i_{2} = \frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}} \quad , \quad i_{2}=G_{2}(v_{1}-v_{2})\\i_{3} = \frac{v_{2}-0}{R_{3}} \quad , \quad i_{3}=G_{3}v_{2}\end{align*}$

Vervanging van de vergelijkingen voor i₁,i₂ en i₃ naar KCL-vergelijkingen op knooppunt 1 en 2 resultaten

$\begin{align*}I_{1}& = I_{2} + i_{1} + i_{2}\\I_{1}&=I_{2}+\frac{v_{1}}{R_{1}}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}\end{align*}$

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} &= i_{3}\\I_{2}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}&=\frac{v_{2}}{R_{3}}\end{align*}$

Vervangen door conductanties, twee bovenstaande vergelijkingen worden

$\begin{align*}I_{1}=I_{2}+G_{1}v_{1}+G_{2}(v_{1}-v_{2})\\\end{align*}$

$\begin{align*}I_{2}+G_{2}(v_{1}-v_{2})=G_{3}v_{2}\end{align*}$

De vierde stap is het oplossen met knooppuntspanningen. Door KCL toe te passen op n – 1 niet-referentieknooppunt, verkrijgen we n – 1 gelijktijdige vergelijkingen.

Voor het circuit in het bovenstaande voorbeeld lossen we alle vergelijkingen op om de knooppuntspanningen v₁ en v₂ te krijgen met behulp van een standaardmethode zoals substitutiemethode, eliminatiemethode, de regel van Cramer of matrixinversie.

Voor nu zullen we de matrixvorm gebruiken als

$\begin{align*}\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2} & -G_{2} \\-G_{2} & G_{2}+G_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{1}-I_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}\end{align*}$

die kan worden opgelost om v₁ en v₂ te krijgen.

Houd er rekening mee dat we de weerstand, spanningsbron en stroombron in het circuit zullen vinden. Er zal een speciale behandeling zijn voor een spanningsbron en stroombron.

Voorbeelden van knoopspanning analyse

Laten we voor een beter begrip enkele voorbeelden hieronder bekijken:

1. Bereken de knooppuntspanningen in onderstaande schakeling.

Oplossing:

Beschouw het onderstaande circuit waar het bovenstaande circuit is voorbereid voor knoopanalyse. De stromen zijn geselecteerd voor KCL behalve de takken met stroombronnen.

De etikettering van de stroom is willekeurig maar consistent. (Consistent betekent dat als i₂ bijvoorbeeld de weerstand van 4 vanaf de linkerkant binnengaat, i₂ de weerstand vanaf de rechterkant moet verlaten).

Het referentieknooppunt wordt geselecteerd en de knooppuntspanningen v₁ en v₂ worden nu bepaald.

Op knooppunt 1 geeft het toepassen van KCL en de wet van Ohm

$\begin{align*}i_{1}&=i_{2}+i_{3}\\5&=\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+\frac{v_{1}-0}{2}\end{align*}$

Door elke term in de laatste vergelijking met 4 te vermenigvuldigen, krijgen we

$\begin{align*}20=v_{1}-v_{2}+2v_{1}\end{align*}$

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

Bij knooppunt 2 doen we hetzelfde en krijgen

$\begin{align*}i_{2}+i_{4}&=i_{1}+i_{5}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+10&=5+\frac{v_{2}-0}{6}\end{align*}$

Elke term vermenigvuldigen met 12 resultaten

$\begin{align*}3v_{1}-3v_{2}+120=60+2v_{2}\end{align*}$

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

Nu hebben we twee gelijktijdige vergelijkingen en dan kunnen we oplossen met elke methode om v₁ en v₂ te krijgen.

Methode 1

Het gebruik van de eliminatiemethode geeft

$\begin{align*}4v_{2}=80\Rightarrow v_{2}=20V\end{align*}$

Het bovenstaande resultaat vervangen door

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

geeft

$\begin{align*}3&v_{1}-20=20\\&v_{1}=\frac{40}{30}=13.333V\end{align*}$

Methode 2

Gebruik de regel van Cramer, we zeggen:

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

naar matrixvorm als

$\begin{align*}\begin{bmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20\\60\end{bmatrix}\end{align*}$

De bepalende factor is

$\begin{align*}\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5\end{vmatrix}=15-3=12\end{align*}$

We krijgen nu de spanningen als

$\begin{align*}v_{1}=\frac{\triangle_{1}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}20 & -1 \\60 & 5\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{100+60}{12}=13.333V\end{align*}$

$\begin{align*}v_{2}=\frac{\triangle_{2}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}3 & 20 \\-3 & 60\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{180+60}{12}=20V\end{align*}$

2. Bepaal de spanningen op de knooppunten in onderstaande schakeling.

Oplossing:

In dit voorbeeld hebben we drie niet-referentieknooppunten nodig in plaats van slechts twee. We wijzen drie knooppunten toe zoals hierboven te zien is

Bij knooppunt 1,

$\begin{align*}3&=i_{1}+i_{x}\\3&=\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{1}-v_{2}}{2}\end{align*}$

Vermenigvuldigen met 4 en het herschikken van termen, krijgen we

(1) $\begin{align*}3v_{1}-2v_{2}-v_{3}=12\end{align*}$

Bij knooppunt 2,

$\begin{align*}i_{x}&=i_{2}+i_{3}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{2}&=\frac{v_{2}-v_{3}}{8}+\frac{v_{2}-0}{4}\end{align*}$

Vermenigvuldigen met 8 en het herschikken van termen, krijgen we

(2) $\begin{align*}-4v_{1}+7v_{2}-v_{3}=0\end{align*}$

Bij knooppunt 3,

$\begin{align*}i_{1}+i_{2}&=2i_{x}\\\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{2}-v_{3}}{8}&=\frac{2(v_{1}-v_{2})}{2}\end{align*}$

Vermenigvuldigen met 8, termen herschikken en delen door 3, krijgen we

(3) $\begin{align*}2v_{1}-3v_{2}+v_{3}=0\end{align*}$

We zullen nu de eliminatiemethode gebruiken, we voegen (1) en (3) toe

(4) $\begin{align*}5v_{1}-5v_{2}&=12\\v_{1}-v_{2}&=\frac{12}{5}=2.4\end{align*}$

Toevoegen van (2) en (3) geeft

(5) $\begin{align*}-2v_{1}+4v_{2}&=0\\v_{1}&=2v_{2}\end{align*}$

Als we (5) vervangen door (4) krijgen we

$\begin{align*}2v_{2}-v_{2}&=2.4V\\v_{2}&=2.4V\\v_{1}&=2v_{2}=4.8V\end{align*}$

Vanaf (3) krijgen we

$\begin{align*}v_{3}&=3v_{2}-2v_{1}\\&=3v_{2}-4v_{2}\\&=-v_{2}=-2.4V\end{align*}$

Dus,

$\begin{align*}v_{1}&=4.8V\\v_{2}&=2.4V\\v_{3}&=-2.4V\end{align*}$

Vervolgens zullen we leren over supernode-spanningsanalyse waarbij we spanningsbronnen zullen ontmoeten bij het oplossen van een circuit met knoopanalyse.

Veel Gestelde Vragen

Wat wordt bedoeld met knoopanalyse?

Nodale analyseschakeling is een methode voor het berekenen van de knooppuntspanning tussen knooppunten om de vertakkingsstroom te krijgen.

Hoe voer je een knoopanalyse uit?

1. Bepaal alle knooppunten
2. Kies een referentieknooppunt (aarde)
3. Bereken alle knooppuntspanningen
4. Schrijf en los alle KCL-vergelijkingen op

Wat zijn de beperkingen van knoopanalyse?

Hoewel het een krachtige methode is, heeft het knooppuntanalysecircuit een complexere uitvoering nodig, terwijl er een spanningsbron en afhankelijke bronnen zijn.

Wat is knoopspanning analyse?

Wat is knooppuntspanning?

Knoopanalyse met weerstand

Knoopanalyse met spanningsbron

Knoopanalyse met huidige bron

Nodale analyse circuit procedure

Voorbeelden van knoopspanning analyse

Veel Gestelde Vragen

Wat wordt bedoeld met knoopanalyse?

Hoe voer je een knoopanalyse uit?

Wat zijn de beperkingen van knoopanalyse?

Leave a Comment Cancel reply