Condensator Laad Vergelijking

Op zoek naar een manier om een ​​condensator op te laden? Zo ja, dan is de eenvoudigste oplossing om dit te doen het RC-circuit. We zullen ook de condensator laad vergelijking vinden.

Dit type circuit is vrij eenvoudig. Door de weerstand, condensator en spanningsbron in serie te schakelen, kan de condensator (C) worden opgeladen via de weerstand (R).

Tijdvertraging of tijdconstante RC-schakeling

Voordat we verdergaan met het RC-laadcircuit en de formule voor het opladen van condensatoren, is het verstandig om deze term, de zogenaamde tijdconstante, te begrijpen. We zullen deze tijdvertraging of tijdconstante in elk elektrisch en elektronisch circuit vinden.

Binnenkort zal er enige “tijdvertraging” zijn in het elektrische circuit tussen de ingangsaansluiting en de uitgangsaansluiting wanneer het circuit wordt gevoed door spanning of signaal in gelijkstroom (DC) of wisselstroom (AC).

Verderop vertegenwoordigt deze tijdconstante de eerste-orde tijd respons van het circuit dat wordt gevoed door signaal of spanning. Deze tijdconstante waarde is afhankelijk van de reactieve componenten, zoals condensator en inductor in het circuit.

We zullen de tijdconstante veel vinden als we proberen een condensator op te laden.

De eenheid van tijdconstante is Tau, met het symbool van – 𝜏

Laten we eerst aannemen dat we een circuit hebben met een “lege” condensator. We kunnen dit een “ontladen” condensator noemen. Vervolgens passen we een DC-spanning toe op het circuit en begint de stroom te stromen. Deze stroom wordt getrokken door de condensator en we noemen het een “laadstroom”.

De condensator begint met “opladen” zolang de DC-spanningsbron wordt toegepast. Zodra de spanning wordt verlaagd, begint de condensator met “ontladen” in de tegenovergestelde richting van de spanningsbron.

U vraagt ​​zich misschien af ​​”waarom is dat zo?”.

Nou, als we het op Google proberen te zoeken, vinden we het antwoord meteen, verstrekt door Wikipedia. Maar laten we het hier schrijven, zodat u geen nieuw tabblad hoeft te openen.

Met een eenvoudige uitleg is een condensator een apparaat dat capaciteit levert aan het circuit. De fysieke vorm van een condensator bestaat uit twee elektrische geleiders. Het kan een paar metalen platen of oppervlakken zijn, gescheiden door een diëlektrisch medium.

Er is een vergelijking voor het berekenen van de opgeslagen elektrische lading tussen de geleiderplaten, deze is:

Voor het opladen en ontladen van een condensator is tijd nodig. Hiervoor gebruiken we de term “tijdconstante” om de benodigde tijd te berekenen.

Dit fungeert ook als de formule voor het opladen van de condensator.

Samenvatting: de tijdconstante is de tijd voor het opladen van een condensator via een weerstand vanaf de initiële laadspanning van nul tot ongeveer 63,2% van de toegepaste DC-spanningsbron. De tijdconstante wordt ook gebruikt om de tijd te berekenen om de condensator via dezelfde weerstand te ontladen tot ongeveer 36,8% van de initiële laadspanning.

Het RC-circuit bestaat uit een serieschakeling van een weerstand, een condensator en een spanningsbron zoals hierboven vermeld. De condensator zal geleidelijk zijn laadspanning verhogen totdat de waarde gelijk is aan de spanningsbron in een ideale aanname.

De intervaltijd voor de condensator voor volledig opladen staat ook bekend als transiënte responstijd 𝜏. We kunnen de waarde vinden uit het product van de weerstand en de capaciteit. Daarom,

Waar:

𝜏 ​​= tijdconstante, gemeten in seconden (s)
R = weerstand, gemeten in ohm (ohm)
C = capaciteit, gemeten in Farad (F)

RC-circuit voor het opladen van Condensatoren

Om een ​​condensator op de eenvoudigste manier op te laden, gebruiken we een condensator (C), een weerstand (R) en een DC-spanningsbron. We verbinden deze componenten allemaal in serie met de toevoeging van een schakelaar.

Op het begintijdstip, of tijdstip nul, is de schakelaar gesloten en begint de condensator op te laden. De condensator laadt op totdat de spanning de bronspanning bereikt.

Wanneer de schakelaar gesloten is, zal de condensator proberen zijn variabele waarden te behouden vóór de overgangstoestand van de schakelaar. Deze waarde wordt gebruikt als een ‘beginwaarde’ wanneer we de circuit analyse uitvoeren.

De stationaire toestand of eindwaarde zal in oneindige tijd zijn, waarbij de waarde niet meer verandert.

Laten we aannemen dat de condensator zich op het beginpunt of startpunt bevindt wanneer de condensator ‘leeg’ of ‘volledig ontladen’ is. In deze toestand gedraagt ​​de condensator zich als een kortsluiting en stroomt de stroom op maximale waarde.

De eindtoestand of ‘stationaire toestand’ is wanneer de condensator ‘volledig opgeladen’ is, er geen stroom stroomt en de condensator zich gedraagt ​​als een open circuit.

Wat moeten we nu vinden?

We hebben de “tijdconstante” nodig om te berekenen hoe lang de condensator volledig opgeladen moet worden. Deze variabele is ook belangrijk om te berekenen hoeveel de condensator na een tijdje opgeladen is.

In het RC-circuit krijgen we de tijdconstante (tau – 𝜏), uit de vermenigvuldiging tussen weerstand R en capaciteit C. Eén ding om op te merken, één tijdconstante is de hoeveelheid tijd die de condensatorspanning nodig heeft om 63% dichter bij de spanningsbron te komen.

Laten we nu de vergelijking voor het proces van het opladen van een condensator uit de bovenstaande afbeelding analyseren. Neem aan dat de condensator (C) in een “volledig ontladen” toestand is nadat we de schakelaar (S) openen. Dit betekent dat er geen spanning in zit.

We noemen deze eerste stap de beginvoorwaarden, waarbij t = 0 s, i = 0 (open circuit) en q = 0 (geen spanning lading, volledig ontladen).

Wanneer we de schakelaar sluiten, begint de tijd op het tijdstempel t = 0 en begint de stroom via de weerstand naar de condensator te stromen.

De laadspanning in de condensator is nog steeds nul (Vc = 0) omdat deze eerst volledig ontladen was op t = 0. In deze toestand is de condensator een ‘kortsluiting’. De totale stroom wordt alleen beperkt door de weerstand.

Met behulp van de spanningswet van Kirchhoff (KVL) kunnen we de spanningsdalingen in het circuit berekenen als:

Nu, nadat de schakelaar is gesloten, stroomt de stroom vrij door het circuit. Deze stroom wordt een laadstroom genoemd. Deze stroom kan worden gemeten met behulp van de eenvoudige wet van Ohm als:

Vergelijking voor condensator laad-RC-circuit grafiek analyse

De stijging van de condensatorspanning en de daling van de condensator stroom hebben een exponentiële curve. Dat betekent dat de waarden in het begin snel veranderen en na een bepaalde tijd weer tot rust komen.

Zoals we hierboven al zeiden, zal de waarde voor elke tijdconstante (1𝜏) 63% dichter bij de gewenste waarde liggen.

Laten we nu eens kijken naar de grafiek van de condensator laadspanning en condensator laadstroom hieronder:

De grafiek hierboven legt uit hoe de spanning van de condensator in de loop van de tijd toenam totdat deze de spanningsbron bereikte. De helling van het begin is steiler, omdat de condensator op dat moment begint op te laden met volledige stroom.

Er verstrijkt meer tijd en de helling begint zijn stabiele curve te krijgen. De laadsnelheid is langzamer wanneer het spanningsverschil tussen de condensator en de bron dunner wordt.

Het potentiaalverschil tussen de platen neemt in de loop van de tijd toe met de werkelijke vereiste tijd voor de elektrische lading van de condensator om 63,2% van zijn maximaal mogelijke spanning (spanningsbron) te bereiken.

Uit de curve hierboven vindt u de tijdconstante – 𝜏 opnieuw.

Dit spanningspunt 0,63 Vs of 63,2% Vs staat voor één tijdconstante of 1𝜏.

De curve hierboven laat ons de helling van de laadstroom van de condensator zien. De waarden kunnen worden berekend met de onderstaande vergelijking voor het laden van de condensator.

Als we het vergelijken met de spanningscurve, is het precies andersom. Naarmate er meer tijd nodig is voor het laden, neemt de stroom in het circuit af totdat deze nul bereikt.

Waarom?

Scroll een stukje omhoog en je vindt het antwoord vanuit het spannings perspectief. Naarmate het spanningsverschil tussen de condensator en de bron afneemt, neemt ook de vereiste stroom om de condensator op te laden af.

Een meer geladen condensator betekent meer weerstand in het circuit, omdat een volledig geladen condensator als een open circuit fungeert.

De condensator bereikt zijn limiet wanneer de benodigde tijd hoger is dan de tien tijdconstante (5𝜏). Volgens de vergelijking voor het laden van de condensator is de condensatorspanning 98% van de spanningsbron.

Deze keer wordt gezegd dat de condensator volledig is opgeladen en t = ∞, i = 0, q = Q = CV.

Wanneer de tijd groter is dan 5𝜏, neemt de stroom af tot nul en heeft de condensator oneindige weerstand, of in elektrische termen, een open circuit. De condensatorspanning is Vc = Vs.

Hieronder gaan we de condensator laad formule gebruiken.

Vergelijking voor het opladen van een condensator

Als het kijken naar de curve iets te moeilijk is, kunnen we de tijdconstante berekenen met een eenvoudige vergelijking voor het opladen van condensatoren. In principe kunnen we de ene tijdconstante (1𝜏) in de vergelijking voor het opladen van condensatoren uitdrukken als

Waar:

𝜏 ​​= tijdconstante
R = weerstand (Ω)
C = capaciteit (C)

We kunnen de wiskundige vergelijking voor het percentage verandering schrijven als de onderstaande condensator laad vergelijking:

Waar:

e = wiskundige constante van Euler (ongeveer 2,71828)
t = benodigde tijd, in seconden
𝜏 = tijdconstante, in seconden

Nadat de tijd één tijdconstante of 1𝜏 bereikt, is het percentage verandering van de beginwaarde naar de gewenste waarde met behulp van de formule voor het opladen van de condensator:

Nadat de tijd twee tijdconstante of 2𝜏 bereikt, is het percentage verandering van de beginwaarde naar de gewenste waarde met behulp van de formule voor het laden van de condensator:

Nadat de tijd vijf tijdconstante of 5𝜏 bereikt, is het percentage verandering van de beginwaarde naar de gewenste waarde met behulp van de vergelijking voor het opladen van de condensator:

Nadat de tijd een tijdconstante van tien of 10 x bereikt, is het percentage verandering van de beginwaarde naar de gewenste waarde met behulp van de condensator laad vergelijking:

Die percentages van verandering waarden hierboven verduidelijken de waarden die we in de tabel in de volgende sectie hebben gezet.

We weten dat de spanningsbron V verantwoordelijk is voor het opladen van een condensator. De condensatorspanning Vc kan worden gemeten door de deling van Q/C. De condensatorspanning Vc kan tijdens elk moment van het laadproces worden uitgedrukt als:

Waar:

Vc = spanning over de condensator
Vs = spanningsbron
t = tijd die verstrijkt sinds de spanningsbron is aangesloten op de weerstand en condensator
RC = de tijdconstante 𝜏 van het RC-circuit

Er zijn twee delen van perioden in de twee grafieken hierboven. We noemen ze:

• Transiënte toestand
• Stabiele toestand

De transiënte toestand is de periode waarin de variabelen van het systeem of circuit in de loop van de tijd zijn veranderd. Het systeem bevindt zich nog steeds in een transiënte toestand zolang het systeem de steady-state niet heeft bereikt.

De tijd die nodig is voor een circuit om van de ene steady-state naar de andere steady-state te veranderen, wordt transiënte tijd genoemd.

Steady-state is de periode waarin de variabelen van het systeem of circuit een stabiele toestand hebben bereikt. De variabelen veranderen niet meer in de tijd.

Als we naar de grafieken kijken, kunnen we concluderen wanneer het circuit zich in een transiënte toestand en steady-state bevindt, zelfs als we de tekstuele uitleg boven de curve verwijderen.

De transiënte periode begint vanaf de initiële nultijd tot 4 tijdconstante (5𝜏). De condensatorspanning in dit RC-circuit heeft ongeveer 98% van de maximaal mogelijke spanning bereikt, de spanningsbron.

Samenvatting, de tijd die nodig is voor het RC-circuit om de condensator op te laden totdat de spanning 0,98 Vs bereikt, is de transiënte toestand, ongeveer 4 tijdconstante (4𝜏).

Nadat de tijd 5𝜏 heeft bereikt, wordt gezegd dat de condensator in steady-state is. De condensator is volledig opgeladen en de condensatorspanning (Vc) is gelijk aan de spanningsbron (Vs).

Omdat de condensator volledig is opgeladen, fungeert de condensator als een open circuit. Er stroomt dus geen stroom meer in het circuit.

De curve van de grafieken heeft exponentiële waarden. Dit betekent dat de condensatorspanning in een praktische toestand nooit 100% van de spanningsbron bereikt.

De tijd na 5𝜏 is nog steeds de steady-state periode van de condensator, waarbij de condensatorspanning ongeveer 99,3% van de spanningsbron is. We kunnen echter nog steeds zeggen dat de condensator volledig is opgeladen.

Universele tijdconstante formule

We kunnen het percentage verandering dat we kregen vermenigvuldigen met het verschil tussen de beginwaarde en de gewenste waarde. We kunnen deze universele formule gebruiken om de tijd te bepalen die nodig is, de spannings- en stroomwaarden en ook het percentage verandering:

Waar:

Final = Gewenste waarde of de waarde na oneindige tijd
Initial = Beginwaarde van de variabele
e = Euler’s constante getal (ongeveer 2,71828)
t = Tijd in seconden
𝜏 = Tijdconstante in seconden

Deze vergelijking wordt ook beschouwd als een condensator laad vergelijking.

Laten we proberen de bovenstaande vergelijking toe te passen met het onderstaande circuit.

Het RC-circuit hierboven heeft een 10kΩ-weerstand, een 100 uF-condensator en een spanningsbron van 15 V. We weten dat de tijdconstante (𝜏) de vermenigvuldiging is van de weerstand (R) en de capaciteit (C), dus

Laten we aannemen dat de condensator volledig ontladen is, dan is de beginwaarde 0 volt. Onze gewenste waarde is 15V, omdat we de condensator volledig willen opladen.

Dan is de wiskundige vergelijking:

Laten we proberen de tijd in te stellen op 7,25s. Dus 7,25 seconden nadat de schakelaar is gesloten, is de condensatorspanning waarde gestegen met:

Dit betekent dat we de condensator na 7,25 seconden opladen tot 14,989 volt.

En niet alleen dat, we kunnen deze vergelijking ook gebruiken voor het opladen van de condensator om de stroom te berekenen, aangezien de vergelijking universeel is. Laten we het nu proberen.

Houd er rekening mee dat er een kenmerk is voor de condensator voor zowel geladen als ontladen:

• De ontladen condensator fungeert als een kortsluiting, dus de beginstroom is maximaal.
• De opgeladen condensator fungeert als een open circuit, dus de eindstroom is minimaal.

Uit deze kenmerken kunnen we het volgende concluderen:

• Initiële stroom: I = V/R = 15V / 10kΩ = 1,5mA
• Eindstroom: 0A

Als we dezelfde t = 7,25s gebruiken, is de stroom na 7,25s:

Let op dat de waarde van de stroom negatief is. Dit betekent dat de stroom in de loop van de tijd afneemt vanaf het begin tot 7,25s. De beginstroom is 15mA, terwijl het verschil na 7,25s (-1,4989 mA) is.

Samenvatting, we hebben (1,5mA – 1,4989mA) 0,0011 mA of 1,1 uA na 7,25s.

Of misschien hebben we de tijdconstante vergelijking niet nodig om de uiteindelijke stroom te vinden. We kunnen gewoon de eenvoudige wet van Ohm gebruiken met behulp van het verschil tussen de begin- en eind spanning, gedeeld door de weerstand.

Het is handig dat de vergelijking voor het opladen van een condensator goed aansluit bij andere basiswetten, zoals de wet van Ohm.

Tabel met condensator laad vergelijkingen

We kunnen de grafieken van het opladen van de condensator en de vergelijking voor het opladen van de condensator omzetten in één eenvoudige RC-oplaad tabel hieronder.

 

Voorbeelden van condensator laad vergelijkingen

Laten we de vergelijking voor het opladen van een condensator in de praktijk toepassen. Vind de tijdconstante 𝜏 voor het RC-circuit hieronder.

We kunnen de bovenstaande tijdconstante formule gebruiken, waarbij 𝜏 = R x C, gemeten in seconden.

De tijd constante is dus 𝜏 = R x C = 47kΩ x 1000uF = 47s.

a) Bereken de condensatorspanning bij een tijdconstante van 0,7.

Bij exact 7𝜏 is de condensatorspanning Vc gelijk aan 0,5Vs.

Dus,

Vc = 0,5Vs = 0,5 x 5V = 2,5V

b) Bereken de condensatorspanning bij 1 tijdconstante.

Bij exact 7𝜏 is de condensatorspanning Vc gelijk aan 0,63Vs. Dus,

Vc = 0,63Vs = 0,5 x 5V = 3,15V

c) Bereken de tijd die nodig is om de condensator volledig op te laden.

We hebben de grafiek hierboven gelezen dat we 5𝜏 nodig hebben om de condensator volledig op te laden. We hebben de tijdconstante al van punt ‘a’.

Dus,

5𝜏 = 5 x 47s = 235s

d) Bereken de condensatorspanning na 100 seconden.

De formule voor condensatorspanning is Vc = V(1 – e(-t/RC)).

Dus,

Samenvatting van de vergelijking voor het opladen van condensatoren

Op basis van de lange uitleg hierboven kunnen we de vergelijking voor het opladen van een condensator samenvatten in de onderstaande stappen:

1. Vind de tijdsconstante (𝜏 = R x C).
2. Stel de beginwaarde en de eindwaarde in.
3. Gebruik de universele tijdconstante formule en zet elke verkregen variabele in de vergelijking.
4. Los de vergelijking op.
5. U kunt de tijd berekenen die nodig is totdat de eindwaarde is bereikt of de eindwaarde berekenen na een bepaalde tijd.
6. Nu hebben we het gebruik van de vergelijking voor het opladen van condensatoren gezien.

Veelgestelde vragen

Laten we de meest gestelde vragen over de vergelijking voor het opladen van condensatoren hieronder bekijken: