De overdrachtsfunctie H(ω) (ook wel de netwerkfunctie genoemd) is een handig analytisch hulpmiddel om de frequentierespons van een circuit te vinden. U zult deze functie vrij vaak tegenkomen wanneer u een gesloten-lus elektrisch circuit probeert te analyseren.
In feite is de frequentie overdrachtsfunctie van een circuit de grafiek van de overdrachtsfunctie H(ω) van het circuit versus ω, waarbij ω varieert van ω = 0 tot ω = ∞.
Wat is de overdrachtsfunctie?
De definitie van de overdrachtsfunctie is de frequentieafhankelijke verhouding van een gedwongen functie tot een dwingende functie (of van uitvoer tot invoer). Het idee van een overdrachtsfunctie was impliciet toen we de concepten impedantie en admittantie gebruikten om spanning en stroom te relateren. Over het algemeen kan een lineair netwerk worden weergegeven door het onderstaande blokdiagram.
De overdrachtsfunctie H(ω) van een circuit is de frequentieafhankelijke verhouding van een fasor uitgang Y(ω) (een element spanning of -stroom) tot een fasor ingang X(ω) (bronspanning of -stroom).
Dus,
uitgaande van nul beginvoorwaarden. Aangezien de invoer en uitvoer op elke plaats in het circuit spanning of stroom kunnen zijn, zijn er vier mogelijke overdrachtsfunctie formules:
waarbij subscripts i en o invoer- en uitvoer waarden aangeven. Omdat het een complexe grootheid is, heeft H(ω) een grootte H(ω) en een fase 𝝓; dat wil zeggen, H(ω) = H(ω)∠𝝓.
Ze zijn gemakkelijk te onthouden, omdat de spanning overdrachtsfunctie de vergelijking is van de uitgangsspanning en de ingangsspanning. Hetzelfde geldt voor de stroomoverdracht functie, waar het een vergelijking is van de uitgangsstroom en de ingangsstroom.
Om de overdrachtsfunctie te verkrijgen met behulp van de bovenstaande vergelijking, verkrijgen we eerst het frequentiedomein-equivalent van het circuit door weerstanden, inductoren en condensatoren te vervangen door hun impedanties R, jωL en 1/jωC.
Vervolgens gebruiken we elke circuit techniek(en) om de juiste grootheid in de bovenstaande vergelijking te verkrijgen. We kunnen de frequentierespons van het circuit verkrijgen door de grootte en fase van de overdrachtsfunctie uit te zetten als de frequentie varieert.
Een computer bespaart veel tijd bij het uitzetten van de overdrachtsfunctie.
Sommigen gebruiken H(jω) voor overdracht in plaats van H(ω), omdat ω en j een onscheidbaar paar zijn.
De overdrachtsfunctie H(ω) kan worden uitgedrukt in termen van zijn teller polynoom N(ω) en noemer polynoom D(ω) als
waarbij N(ω) en D(ω) niet noodzakelijkerwijs dezelfde uitdrukkingen zijn voor respectievelijk de invoer- en uitvoer functies.
De representatie van H(ω) in de bovenstaande vergelijking veronderstelt dat de gemeenschappelijke teller- en noemer factoren in H(ω) zijn opgeheven, waardoor de verhouding tot de laagste termen is gereduceerd.
De wortels van N(ω) = 0 worden de nullen van H(ω) genoemd en worden gewoonlijk weergegeven als jω = z1, z2, . . . .
Op dezelfde manier zijn de wortels van D(ω) = 0 de polen van H(ω) en worden ze weergegeven als jω = p1, p2, . . . .
Een nul, als wortel van de teller polynoom, is een waarde die resulteert in een nulwaarde van de functie. Een pool, als wortel van de noemer polynoom, is een waarde waarvoor de functie oneindig is.
Om complexe algebra te vermijden, is het raadzaam om jω tijdelijk te vervangen door s wanneer u met H(ω) werkt en s aan het einde te vervangen door jω. De H(s)-overdrachtsfunctie zal het oplossen van de analyse eenvoudiger maken, omdat het de complexe algebra verwijdert zonder het resultaat te veranderen.
Een nul kan ook worden beschouwd als de waarde van s = jω die H(s) nul maakt, en een pool als de waarde van s = jω die H(s) oneindig maakt.
Overdrachtsfunctie van circuit voorbeelden
Laten we de onderstaande voorbeelden van overdrachtsfuncties bekijken:
1. Voor het RC-circuit hieronder, verkrijg de overdrachtsfunctie Vo/Vs en de frequentierespons. Laat vs = Vm cos ωt. Links is het RC-circuit in het tijdsdomein en rechts is het RC-circuit in het frequentiedomein.
Oplossing:
Het frequentiedomein equivalent van het circuit staat rechts. Door spanningsdeling wordt de overdrachtsfunctie gegeven door
We verkrijgen de grootte en fase van H(ω) als
waarbij ω0 = 1/RC. Om H en 𝝓 voor 0 < ω < ∞ te plotten, verkrijgen we hun waarden op enkele kritische punten en schetsen we vervolgens. Links is de amplituderespons en rechts is de fase response
Bij ω = 0, H = 1 en 𝝓 = 0. Bij ω = ∞, H = 0 en 𝝓 = −90o. Ook bij ω = ω0, H = 1/√2 en 𝝓 = −45o. Met deze en nog een paar punten zoals weergegeven in de onderstaande tabel, vinden we dat de frequentierespons is zoals hierboven weergegeven.
2. Bereken voor het onderstaande circuit de versterking Io(ω)/Ii(ω) en de bijbehorende polen en nullen.
Oplossing:
Volgens huidige verdeling,
of
De nullen staan op
De palen staan op
Er is dus een herhaalde pool (of dubbele pool) bij p = −1