Waarom moeten we meer te weten komen over de stellingformule van Thevenin? Het is erg handig bij het analyseren van een elektrisch circuit met een complexe configuratie.
De stelling van Thevenin kan ons enorm helpen bij het omgaan met elektrische analyse in de praktijk. Het is normaal dat een component in een circuit soms variabel is (de belasting kan van tijd tot tijd veranderen), terwijl andere componenten vast zijn.
Het eenvoudigste voorbeeld hiervan is de elektrische belasting van ons huishouden. We zullen onze elektrische apparaten op onze elektriciteit aansluiten en dit kan een lamp, oplader, tv, koelkast, computer en nog veel meer zijn. Ons punt hier is dat de belasting een variabele component zal zijn voor het elektrische circuit van ons huishouden.
Het zal vervelend zijn als we ons elektrische systeem willen analyseren telkens wanneer we verschillende apparaten aansluiten. Dit is waar de stelling van Thevenin van pas komt! We zullen de vaste component in het elektrische circuit analyseren in een vereenvoudigd equivalent circuit en we hoeven het niet helemaal opnieuw te analyseren wanneer de variabele component verandert.
Dit zal veel van onze kostbare tijd besparen.
Wat is de stelling van Thevenin
Bekijk de onderstaande illustratie waar het lineaire circuit met twee aansluitingen onze vaste componenten zijn, terwijl de belasting regelmatig kan veranderen. Dit geldt ook voor de stelling van Norton.
We kunnen het lineaire circuit met twee aansluitingen vervangen door het Thevenin-equivalentcircuit, zoals hieronder weergegeven:
De belasting kan slechts een weerstand zijn of zelfs een ander circuit. Dit Thevenin-equivalentcircuit is onze belangrijkste focus bij het analyseren van elektrische circuits. Als de belasting door een onderdeel wordt vervangen, blijft het Thevenin-equivalentcircuit zoals het is.
De stelling van Thevenin stelt dat:
Een lineair circuit met twee aansluitingen kan worden vereenvoudigd tot een circuit dat alleen bestaat uit een spanningsbron VTh, verbonden series met een equivalente weerstand RTh tussen de twee waargenomen aansluitingen.
De ware essentie van deze stelling is het vereenvoudigen van een circuitanalyse, dat wil zeggen het maken van een vervangend circuit dat bestaat uit een spanningsbron die in serie is geschakeld met de equivalente weerstand ervan.
Wat is de formule van de stelling van Thevenin
Nadat we hebben geleerd hoe de stelling van Thevenin werkt, moeten we nog steeds begrijpen hoe we wiskundige oplossingen implementeren om het volledig te begrijpen.
Onze belangrijkste doelstellingen zijn het vinden van:
- Thevenin-equivalente spanning, VTh
- Thevenin-equivalente weerstand, RTh
Houd er rekening mee dat we ze gelijkwaardig kunnen noemen als de spanning en stroom op de aansluitingen nog steeds hetzelfde zijn.
Uit de bovenstaande illustratie kunnen we met de substitutiestelling zien dat circuit B kan worden vervangen door een spanningsbron met dezelfde waarde wanneer de stroom door circuit B vloeit op de twee terminals die we waarnemen (terminal a-b)
Nadat we het substitutiecircuit hebben gevonden, krijgen we met behulp van de superpositiestelling het volgende:
1. Als een spanningsbron V actief is, is het lineaire circuit A niet actief (alle onafhankelijke bronnen worden vervangen door hun interne weerstand), dus we kunnen de equivalente weerstand berekenen. Deze stap gaat over het vinden van Thevenin-resistentie of het vinden van R Thevenin.
2. Als het lineaire circuit A actief is, wordt de onafhankelijke spanningsbron vervangen door een interne weerstand die nul is of kortsluiting.
Na het verenigen van deze twee voorwaarden (superpositiestelling) krijgen we:
Wanneer terminal a-b een open circuit (OC) is, dan is de i die in het circuit stroomt nul (i = 0).
Dit gaat over de Stelling V-formule van Thevenin. Uit vergelijkingen (1) en (2) krijgen we
De V thevenin-formule is gelijk aan V;
Opmerking:
Het is niet raar als de Thevenin-weerstand RTh een negatieve waarde heeft. De negatieve weerstand zorgt ervoor dat de spanning (v=-iR) negatief wordt. Het betekent dat het circuit stroom levert. Deze negatieve weerstand is mogelijk als het circuit afhankelijke bronnen heeft.
De samenvatting van hoe u de Thevenin-spanning kunt berekenen, wordt hieronder behandeld.
Thevenin’ Resistance-formule
We moeten de waarde van de Thevenin-weerstand (R Thevenin-formule) verkrijgen als de equivalente weerstand voor het circuit.
De stappen die we moeten doen om te begrijpen hoe we de venin-resistentie kunnen vinden, zijn:
- Het eerste is dat we alle onafhankelijke bronnen in lineair circuit A uitschakelen,
- Vervang de spanningsbron door zijn inwendige weerstand R=0 of kortsluiting,
- Vervang de stroombron door zijn binnenweerstand R=∞ of open circuit,
- Bereken de equivalente weerstand in het circuit,
- Als het circuit afhankelijke bronnen heeft, moeten we de “kortsluitstroom” (Isc) vinden,
- De equivalente weerstand (RTh) kan worden berekend uit de spanning over de gewenste aansluiting gedeeld door de stroom die door de kortgesloten aansluiting (Isc) vloeit.
Samenvatting: de venin-weerstand (RTh-formule) is de weerstand gemeten in klem a-b wanneer alle spanningsbronnen zijn vervangen door een kortsluiting en de stroombronnen zijn vervangen door een open circuit.
Thevenin’s stellingprocedures
1. Zoek en bepaal het aansluitpunt a-b waar de parameter wordt gevraagd of waargenomen.
2. Verwijder het onderdeel bij klem a-b, maak het circuit open op die klem en bereken de spanning over die klem a-b (Vab=Voc=VTh).
3. Als er alleen onafhankelijke bronnen zijn, wordt de weerstand gemeten aan de aansluiting a-b wanneer alle bronnen zijn uitgeschakeld en vervangen door hun interne weerstand. We krijgen Thevenin-equivalente weerstand (Rab = RTh)
- Vervang de spanningsbron bij kortsluiting.
- Vervang de stroombron door een open circuit.
4. Als er een afhankelijke bron is, gebruiken we de onderstaande vergelijking om de equivalente weerstand van Thevenin te vinden,
5. Om de waarde van Isc (kortsluitstroom) te vinden, maken we aansluiting a-b kortgesloten en berekenen we de stroom die door die aansluiting vloeit (Iab=Isc).
6. Teken het Thevenin-equivalentcircuit opnieuw, aangezien een serieschakeling bestaat uit:
- De verwijderde component hebben we in stap (2) gedaan.
- Thevenin-spanning/open circuitspanning/ab-spanning (VTh=Voc=Vab)
- Thevenin-equivalente weerstand (RTh).
7. Los het vereenvoudigde circuit op.
De spanningsformule van Thevenin
Als u het moeilijk vindt om te begrijpen hoe u de Thevenin-spanning kunt vinden, zijn dit de eenvoudigste stappen:
- Bepaal de terminal a-b waar de parameter wordt waargenomen.
- Verwijder het onderdeel op klem a-b, maak het circuit open op die klem en bereken de spanning over die klem a-b (Vab=Voc=VTh).
Thevenin met onafhankelijke bron
1. Vind de waarde van i met de stelling van Thevenin!
Oplossing:
Bepaal terminal a-b op R waar i wordt waargenomen. Verwijder het onderdeel en maak het open circuit. Bereken de spanning over klem a-b bij open circuit:
We krijgen de Vab of Voc:
Met behulp van de RTh thevenin-formule vinden we de Thevenin-weerstand RTh wanneer alle onafhankelijke bronnen zijn uitgeschakeld (vervang ze door hun innerlijke weerstand). Vanuit het terminal a-b perspectief:
Zo krijgen we de weerstandsformule van Thevenin
We hertekenen het circuit in een Thevenin-equivalent circuit:
Vandaar,
2. Vind de waarde van i met de stelling van Thevenin!
Oplossing:
Bepaal de terminal a-b op R waar i wordt waargenomen. Verwijder het onderdeel en bereken de spanning over klem a-b bij open circuit:
Met knooppuntanalyse:
Let op de knooppuntspanning v1:
Dus
Zoek de Thevenin-weerstand RTh wanneer alle onafhankelijke bronnen zijn uitgeschakeld en vervang ze door hun innerlijke weerstand. Vanuit het terminal a-b perspectief:
Dan is de Thevenin-resistentieformule RTh
Teken het Thevenin-equivalentcircuit opnieuw:
Dus,
3. Vind de spanning over klem a-b met de stelling van Thevenin!
Oplossing:
Vind Vab wanneer terminal a-b open circuit is:
Dan de Vab:
Dus
Vind de Thevenin-weerstand wanneer alle onafhankelijke bronnen zijn uitgeschakeld en vervangen door hun innerlijke weerstand. Vanuit het a-b-perspectief:
Dan
Dan Thevenin-equivalentcircuit:
Vandaar,
Thevenin met afhankelijke bron
1. Vind de waarde van V met de stelling van Thevenin!
Oplossing:
Vind Vab waar de spanning over de R = 3Ω is, dan maken we die terminal open circuit:
Dan
Omdat het circuit een afhankelijke bron heeft, kunnen we niet alle bronnen uitschakelen om de RTh te verkrijgen. We moeten eerst de kortsluitstroom Isc vinden:
Dan
Dus
We hertekenen het Thevenin-equivalentcircuit:
En wij krijgen,
2. Vind de waarde i met de stelling van Thevenin!
Oplossing:
Vind Vab wanneer terminal a-b open circuit is:
We krijgen
Omdat er een afhankelijke bron is, kunnen we niet alle bronnen direct uitschakelen om RTh te vinden. We vinden eerst de waarde van Isc:
We krijgen:
Dan,
We hertekenen het Thevenin-equivalentcircuit:
En wij krijgen
Voorbeelden van de stellingen van Thevenin
1. Teken het onderstaande circuit opnieuw in het Thevenin-equivalentcircuit links van de a-b. Zoek de stroom door de RL wanneer RL=6,16,36 Ω.
Oplossing:
Eerst verwijderen we de waargenomen terminal en schakelen alle onafhankelijke bronnen uit en vervangen ze door hun innerlijke weerstanden:
- Schakel de 32 V-spanningsbron uit en vervang deze door een kortsluiting.
- Schakel de stroombron van 2 A uit en vervang deze door een open circuit.
Het circuit wordt hieronder:
We krijgen de Thevenin-equivalente weerstand, RTh als:
Om de VTh te vinden, kunnen we mesh-analyse gebruiken voor de twee lussen aan de linkerkant, zoals hieronder weergegeven:
We verkrijgen
Gebruik de i2, we kunnen de i1 = 0,5 A oplossen. Daarom
Voor eenvoudigere oplossingen kunnen we ook knooppuntanalyse gebruiken. Negeer de weerstand van 1 Ω, omdat er geen stroom door het open circuit zal stromen. Vanuit het knooppunt VTh met KCL wordt geproduceerd:
De waarde is hetzelfde als voorheen. Vervolgens hertekenen we het circuit in een Thevenin-equivalent circuit:
De stroom die door RL vloeit is
RL = 6,
RL = 16,
RL = 36,
2. Teken het onderstaande circuit opnieuw in het Thevenin-equivalentcircuit op de klemmen a-b.
Oplossing:
Omdat het circuit een afhankelijke spanningsbron heeft, vervangen we nog steeds alle onafhankelijke bronnen door hun interne weerstanden, maar laten we de afhankelijke bron met rust.
Omdat er een afhankelijke bron is, bekrachtigen we het circuit met een spanningsbron vo die is aangesloten op de terminal, zoals hieronder weergegeven. We hebben de spanningsbron vo = 1 V ingesteld om de berekening eenvoudiger te maken, omdat het circuit lineair is, zodat de spanning-stroomrelatie niet zal veranderen.
Wat we vervolgens moeten doen is de waarde van io vinden via de terminals a-b om de waarde van de Thevenin-equivalente weerstand te verkrijgen:
We kunnen de huidige bron io ook aansluiten op de terminals a-b en de VTh vinden om de RTh te krijgen:
Met behulp van de mesh-analyse wordt de lus 1 geproduceerd
Maar
Dus,
Voor lus 2 resulteert KVL in
Voor lus 3 resulteert KVL in
Het oplossen van deze drie vergelijkingen geeft
Maar
Dus,
Om de Thevenin-equivalentspanning (VTh) te krijgen, vinden we de nullastspanning, Voc, in het onderstaande circuit:
Het gebruik van de mesh-analyse voor de drie lussen levert het volgende op:
Lus 1:
Lus 2:
Lus 3:
Maar
Het oplossen van deze vergelijkingen zal opleveren
Dus,
We kunnen het circuit opnieuw tekenen in het Thevenin-equivalente circuit, zoals hieronder weergegeven
3. Converteer het onderstaande circuit naar het Thevenin-equivalentcircuit op de klemmen a-b.
Net als in het voorgaande voorbeeld zullen we het circuit bekrachtigen met een spanningsbron van 1 V of een stroombron van 1 A. Voor dit geval gaan we met een stroombron met knooppuntanalyse. Het circuit wordt hieronder
Neem aan dat io = 1 A. Het gebruik van knooppuntanalyse levert op
Nu hebben we twee onbekende variabelen, maar slechts één vergelijking. We hebben de beperkingsvergelijking nodig
Het vervangen van vergelijking (3.2) in (3.1) levert op
Sinds
Dan
Dit is het voorbeeld wanneer de weerstand een negatieve waarde heeft. Het betekent dat ons circuit stroom levert. Nauwkeurig is de afhankelijke bron degene die stroom levert. Zo wordt het Thevenin-equivalentcircuit
