Die Übertragungsfunktion H(ω) (auch Netzwerkfunktion genannt) ist ein nützliches Analyse-Tool zum Ermitteln der Frequenzantwort eines Schaltkreises. Sie werden diese Funktion recht häufig finden, wenn Sie versuchen, einen geschlossenen Stromkreis zu analysieren.
Tatsächlich ist die Frequenzübertragungsfunktion eines Schaltkreises die Darstellung der Übertragungsfunktion H(ω) des Schaltkreises gegenüber ω, wobei ω von ω = 0 bis ω = ∞ variiert.
Was ist die Übertragungsfunktion?
Die Definition der Übertragungsfunktion ist das frequenzabhängige Verhältnis einer erzwungenen Funktion zu einer erzwungenen Funktion (oder von Ausgang zu Eingang). Die Idee einer Übertragungsfunktion war implizit, als wir die Konzepte von Impedanz und Admittanz verwendeten, um Spannung und Strom in Beziehung zu setzen. Im Allgemeinen kann ein lineares Netzwerk durch das unten gezeigte Blockdiagramm dargestellt werden.
Die Übertragungsfunktion H(ω) einer Schaltung ist das frequenzabhängige Verhältnis eines Zeigers Ausgangs Y(ω) (einer Elementspannung oder eines Elements Stroms) zu einem Zeiger Eingang X(ω) (Quellenspannung oder -strom).
Daher,
unter der Annahme von Null-Anfangsbedingungen. Da der Eingang und Ausgang an jeder Stelle im Schaltkreis entweder Spannung oder Strom sein können, gibt es vier mögliche Formeln für die Übertragungsfunktion:
wobei die Indizes i und o Eingangs- und Ausgangswerte bezeichnen. Da es sich bei H(ω) um eine komplexe Größe handelt, hat es eine Größe H(ω) und eine Phase 𝝓, d. h. H(ω) = H(ω)∠𝝓.
Sie sind leicht zu merken, da die Spannungsübertragungsfunktion der Vergleich von Ausgangsspannung und Eingangsspannung ist. Dasselbe gilt für die Störübertragungsfunktion, bei der es sich um einen Vergleich von Ausgangsstrom und Eingangsstrom handelt.
Um die Übertragungsfunktion mithilfe der obigen Gleichung zu erhalten, ermitteln wir zunächst das Frequenzbereich Äquivalent der Schaltung, indem wir Widerstände, Induktoren und Kondensatoren durch ihre Impedanzen R, jωL und 1/jωC ersetzen.
Anschließend verwenden wir eine beliebige Schaltungstechnik, um die entsprechende Größe in der obigen Gleichung zu erhalten. Wir können die Frequenzantwort der Schaltung erhalten, indem wir die Größe und Phase der Übertragungsfunktion bei variierender Frequenz aufzeichnen.
Ein Computer spart beim Zeichnen der Übertragungsfunktion viel Zeit.
Manche verwenden für die Übertragung H(jω) statt H(ω), da ω und j ein untrennbares Paar sind.
Die Übertragungsfunktion H(ω) kann durch ihr Zählerpolynom N(ω) und ihr Nennerpolynom D(ω) ausgedrückt werden als
wobei N(ω) und D(ω) nicht notwendigerweise die gleichen Ausdrücke für die Eingabe- bzw. Ausgabefunktionen sind.
Die Darstellung von H(ω) in der obigen Gleichung setzt voraus, dass sich die gemeinsamen Zähler- und Nenner Faktoren in H(ω) aufheben, wodurch das Verhältnis auf die kleinsten Terme reduziert wird.
Die Wurzeln von N(ω) = 0 werden als Nullstellen von H(ω) bezeichnet und üblicherweise als jω = z1, z2, . . . . dargestellt.
In ähnlicher Weise sind die Wurzeln von D(ω) = 0 die Pole von H(ω) und werden als jω = p1, p2, . . . . dargestellt.
Eine Nullstelle als Wurzel des Zählerpolynoms ist ein Wert, bei dem die Funktion einen Nullwert ergibt. Eine Polstelle als Wurzel des Nennerpolynoms ist ein Wert, bei dem die Funktion unendlich ist.
Um komplexe Algebra zu vermeiden, ist es sinnvoll, jω vorübergehend durch s zu ersetzen, wenn mit H(ω) gearbeitet wird, und s am Ende durch jω zu ersetzen. Die H(s)-Übertragungsfunktion erleichtert das Lösen der Analyse, da sie die komplexe Algebra beseitigt, ohne das Ergebnis zu ändern.
Eine Null kann auch als der Wert von s = jω betrachtet werden, der H(s) zu Null macht, und ein Pol als der Wert von s = jω, der H(s) unendlich macht.
Übertragungsfunktion von Schaltungsbeispielen
Sehen wir uns die folgenden Beispiele für Übertragungsfunktionen an:
1. Ermitteln Sie für den RC-Schaltkreis unten die Übertragungsfunktion Vo/Vs und deren Frequenzgang. Lassen Sie vs = Vm cos ωt. Links ist der RC-Schaltkreis im Zeitbereich und rechts der RC-Schaltkreis im Frequenzbereich.
Lösung:
Das Frequenzbereichsäquivalent der Schaltung ist rechts. Durch Spannungsteilung ergibt sich die Übertragungsfunktion durch
We obtain the magnitude and phase of H(ω) as
wobei ω0 = 1/RC. Um H und 𝝓 für 0 < ω < ∞ darzustellen, ermitteln wir ihre Werte an einigen kritischen Punkten und skizzieren dann. Links ist die Amplitudenantwort und rechts die Phasenantwort
Bei ω = 0 ist H = 1 und 𝝓 = 0. Bei ω = ∞ ist H = 0 und 𝝓 = −90o. Außerdem ist bei ω = ω0 H = 1/√2 und 𝝓 = −45o. Mit diesen und einigen weiteren Punkten, wie in der folgenden Tabelle gezeigt, stellen wir fest, dass die Frequenzantwort wie oben dargestellt ist.
2. Berechnen Sie für die folgende Schaltung die Verstärkung Io(ω)/Ii(ω) und deren Pole und Nullstellen.
Lösung:
Nach aktueller Aufteilung,
oder
Die Nullen sind bei
Die Pole sind bei
Es gibt also einen wiederholten Pol (oder Doppelpol) bei p = −1