Persamaan Pengisian Kapasitor

Sedang mencari cara untuk mengisi kapasitor? Jika ya, maka solusi paling sederhana untuk melakukannya adalah rangkaian RC. Kita juga akan menemukan persamaan pengisian kapasitor.

Jenis rangkaian ini cukup sederhana. Dengan menghubungkan resistor, kapasitor, dan sumber tegangan secara seri, kapasitor (C) dapat diisi melalui resistor (R).

Rangkaian RC Penundaan Waktu atau Konstanta Waktu

Sebelum beralih ke rangkaian pengisian RC dan rumus pengisian kapasitor, ada baiknya kita pahami dulu istilah yang disebut Konstanta Waktu. Kita akan menemukan penundaan waktu atau konstanta waktu ini di setiap rangkaian listrik dan elektronik.

Singkatnya, akan ada beberapa “penundaan waktu” di rangkaian listrik antara terminal input dan terminal output saat rangkaian dialiri tegangan atau sinyal dalam arus searah (DC) atau arus bolak-balik (AC).

Selanjutnya, Konstanta Waktu ini merupakan respons waktu orde pertama dari rangkaian yang dialiri sinyal atau tegangan. Nilai konstanta waktu ini bergantung pada komponen reaktif, seperti kapasitor dan induktor di rangkaian.

Kita akan sering menemukan konstanta waktu jika kita mencoba mengisi kapasitor.

Satuan Konstanta Waktu adalah Tau, dengan simbol – 𝜏

Pertama, mari kita asumsikan bahwa kita memiliki rangkaian dengan kapasitor “kosong”. Kita dapat menyebutnya kapasitor “kosong”. Kemudian kita berikan tegangan DC ke rangkaian dan arus mulai mengalir. Arus ini ditarik oleh kapasitor dan kita sebut sebagai “arus pengisian”.

Kapasitor mulai “mengisi daya” selama sumber tegangan DC diberikan. Begitu tegangan diturunkan, kapasitor mulai melakukan “pengosongan daya” dengan arah yang berlawanan dengan sumber tegangan.

Anda mungkin bertanya-tanya “mengapa seperti itu?”.

Nah, jika kita coba mencarinya di Google, kita akan langsung menemukan jawabannya, yang disediakan oleh Wikipedia. Namun, mari kita tuliskan di sini agar Anda tidak perlu membuka tab baru.

Secara sederhana, kapasitor adalah perangkat yang memberikan kapasitansi pada rangkaian. Bentuk fisik kapasitor terdiri dari dua konduktor listrik. Kapasitor dapat berupa sepasang pelat atau permukaan logam yang dipisahkan oleh media dielektrik.

Terdapat persamaan untuk menghitung muatan listrik yang tersimpan di antara pelat konduktor, yaitu:

Pengisian dan pengosongan kapasitor ini memerlukan waktu. Di sinilah kita menggunakan istilah “Konstanta Waktu” untuk menghitung waktu yang dibutuhkan.

Ini juga akan bertindak sebagai rumus pengisian kapasitor.

Ringkasnya, Konstanta Waktu adalah waktu untuk mengisi kapasitor melalui resistor dari tegangan pengisian awal nol hingga sekitar 63,2% dari sumber tegangan DC yang diberikan. Konstanta Waktu juga digunakan untuk menghitung waktu untuk mengosongkan kapasitor melalui resistor yang sama hingga sekitar 36,8% dari tegangan pengisian awal.

Rangkaian RC terbentuk dari hubungan seri resistor, kapasitor, dan sumber tegangan seperti yang disebutkan di atas. Kapasitor akan secara bertahap mengisi tegangan pengisiannya hingga nilainya sama dengan sumber tegangan dalam asumsi ideal.

Interval waktu kapasitor untuk pengisian penuh juga dikenal sebagai waktu respons transien 𝜏. Kita dapat menemukan nilai dari hasil perkalian resistansi dan kapasitansi. Oleh karena itu,

Dimana:

𝜏 = konstanta waktu, diukur dalam satuan detik (s)
R = resistansi, diukur dalam satuan ohm (ohm)
C = kapasitansi, diukur dalam satuan Farad (F)

Rangkaian RC Pengisian Kapasitor

Untuk mengisi kapasitor dengan metode yang paling sederhana, kita akan menggunakan kapasitor (C), resistor (R), dan sumber tegangan DC. Kita menghubungkan semua komponen ini secara seri dengan penambahan saklar.

Pada waktu awal, atau waktu nol, sakelar ditutup dan kapasitor mulai terisi. Kapasitor akan terisi hingga tegangannya mencapai tegangan sumber.

Ketika saklar ditutup, kapasitor akan mencoba mempertahankan nilai variabelnya sebelum keadaan transisi saklar. Nilai ini akan digunakan sebagai ‘nilai awal’ ketika kita melakukan analisis rangkaian.

Keadaan tetap atau nilai akhirnya akan berada dalam waktu tak terbatas di mana nilainya tidak berubah lagi.

Mari kita asumsikan bahwa kapasitor berada pada titik awal atau titik awal ketika kapasitor “kosong” atau “terisi penuh”. Pada keadaan ini, kapasitor bertindak sebagai hubung singkat, dan arus mengalir pada nilai maksimum.

Keadaan akhir atau “keadaan tetap” adalah ketika kapasitor “terisi penuh”, tidak ada arus yang mengalir dan kapasitor bertindak sebagai rangkaian terbuka.

Apa yang perlu kita cari selanjutnya?

Kita memerlukan “konstanta waktu” untuk menghitung berapa lama kapasitor perlu terisi penuh. Variabel ini juga penting untuk menghitung berapa banyak kapasitor terisi setelah beberapa saat.

Dalam rangkaian RC, kita memperoleh konstanta waktu (tau – 𝜏), dari perkalian antara resistansi R dan kapasitansi C. Satu hal yang perlu diperhatikan, satu konstanta waktu adalah jumlah waktu bagi tegangan kapasitor untuk mencapai 63% lebih dekat ke sumber tegangan.

Sekarang, mari kita analisis persamaan untuk proses pengisian kapasitor dari gambar di atas. Asumsikan kapasitor (C) dalam kondisi “terisi penuh” setelah kita membuka saklar (S). Itu berarti tidak ada tegangan di dalamnya.

Kita sebut langkah pertama ini sebagai kondisi awal, di mana t = 0 s, i = 0 (rangkaian terbuka), dan q = 0 (tidak ada muatan tegangan, terisi penuh).

Ketika kita menutup saklar, waktu dimulai pada stempel waktu t = 0 dan arus mulai mengalir ke kapasitor melalui resistor.

Tegangan pengisian dalam kapasitor masih nol (Vc = 0) karena telah terisi penuh terlebih dahulu pada t = 0. Dalam keadaan ini, kapasitor adalah ‘hubungan pendek’. Arus total dibatasi hanya oleh resistor.

Dengan bantuan hukum tegangan Kirchhoff (KVL), kita dapat menghitung penurunan tegangan dalam rangkaian sebagai:

Sekarang setelah saklar ditutup, arus mengalir bebas di dalam rangkaian. Arus ini akan disebut Arus Pengisian. Arus ini dapat diukur menggunakan hukum Ohm sederhana sebagai berikut:

Persamaan Pengisian Kapasitor Analisis Grafik Rangkaian RC

Kenaikan tegangan kapasitor dan penurunan arus kapasitor memiliki kurva eksponensial. Artinya, nilai-nilai berubah dengan cepat di awal dan stabil setelah jangka waktu tertentu.

Seperti yang telah disebutkan di atas, untuk setiap satu konstanta waktu (1𝜏), nilainya akan 63% lebih dekat ke nilai yang diinginkan.

Sekarang mari kita lihat grafik tegangan pengisian kapasitor dan arus pengisian kapasitor di bawah ini:

Grafik di atas menjelaskan bagaimana tegangan kapasitor meningkat seiring waktu hingga mencapai sumber tegangan. Kemiringan awalnya lebih curam, karena pada saat itu kapasitor mulai terisi dengan arus penuh.

Waktu berlalu lebih lama dan kemiringan mulai mendapatkan kurva yang stabil. Laju pengisian lebih lambat saat perbedaan tegangan antara kapasitor dan sumber menipis.

Perbedaan potensial antara pelat meningkat seiring waktu dengan waktu yang dibutuhkan sebenarnya agar muatan listrik kapasitor mencapai 63,2% dari tegangan maksimum yang mungkin (sumber tegangan).

Dari kurva di atas, Anda akan menemukan Konstanta Waktu – 𝜏 lagi.

Titik tegangan 0,63Vs atau 63,2%Vs ini merupakan satu konstanta waktu atau 1𝜏.

Kurva di atas menunjukkan kemiringan arus pengisian kapasitor. Nilainya dapat dihitung dari persamaan pengisian kapasitor di bawah ini.

Jika dibandingkan dengan kurva tegangan, kurva ini adalah kebalikannya. Semakin lama waktu yang dibutuhkan saat pengisian, arus dalam rangkaian akan berkurang hingga mencapai nol.

Mengapa?

Gulir sedikit ke atas dan Anda akan menemukan jawaban dari perspektif tegangan. Karena perbedaan tegangan antara kapasitor dan sumber berkurang, arus yang dibutuhkan untuk mengisi kapasitor juga berkurang.

Kapasitor yang lebih terisi berarti lebih banyak resistansi dalam rangkaian, karena kapasitor yang terisi penuh bertindak sebagai rangkaian terbuka.

Kapasitor mencapai batasnya ketika waktu yang dibutuhkan lebih tinggi dari konstanta waktu sepuluh (5𝜏). Dari persamaan pengisian kapasitor, tegangan kapasitor adalah 98% dari tegangan sumber.

Saat ini, kapasitor dikatakan terisi penuh dan t = ∞, i = 0, q = Q = CV.

Ketika waktu lebih besar dari 5𝜏, arus berkurang menjadi nol dan kapasitor memiliki resistansi tak terbatas, atau dalam istilah listrik, rangkaian terbuka. Tegangan kapasitor adalah Vc = Vs.

Di bawah ini kita akan mulai menggunakan rumus pengisian kapasitor.

Persamaan Pengisian Kapasitor

Jika melihat kurvanya agak terlalu sulit, kita dapat menghitung konstanta waktu dengan persamaan mudah untuk pengisian kapasitor. Pada dasarnya, kita dapat menyatakan satu konstanta waktu (1𝜏) dalam persamaan pengisian kapasitor sebagai

Dimana:

𝜏 = konstanta waktu
R = resistansi (Ω)
C = kapasitansi (C)

Kita dapat menuliskan persamaan matematika persentase perubahan sebagai persamaan pengisian kapasitor di bawah ini:

Di mana:

e = konstanta matematika Euler (sekitar 2,71828)
t = waktu yang dibutuhkan, dalam detik
𝜏 = konstanta waktu, dalam detik

Setelah waktu mencapai satu konstanta waktu atau 1𝜏, persentase perubahan dari nilai awal ke nilai yang diinginkan menggunakan rumus pengisian kapasitor adalah:

Setelah waktu mencapai dua konstanta waktu atau 2𝜏, persentase perubahan dari nilai awal ke nilai yang diinginkan menggunakan rumus muatan kapasitor adalah:

Setelah waktu mencapai lima konstanta waktu atau 5𝜏, persentase perubahan dari nilai awal ke nilai yang diinginkan menggunakan persamaan untuk pengisian kapasitor adalah:

Setelah waktu mencapai sepuluh konstanta waktu atau 10𝜏, persentase perubahan dari nilai awal ke nilai yang diinginkan menggunakan persamaan pengisian kapasitor adalah:

Nilai persentase perubahan di atas memperjelas nilai yang kami masukkan dalam tabel di bagian berikutnya.

Kita tahu bahwa sumber tegangan V bertanggung jawab untuk mengisi kapasitor. Tegangan kapasitor Vc dapat diukur dari pembagian Q/C. Tegangan kapasitor Vc selama proses pengisian dapat dinyatakan sebagai:

Dimana:

Vc = tegangan melintasi kapasitor
Vs = sumber tegangan
t = waktu yang dibutuhkan sejak sumber tegangan dihubungkan ke resistor dan kapasitor
RC = konstanta waktu 𝜏 dari rangkaian RC

Ada dua bagian periode dalam dua grafik di atas. Kita menyebutnya:

• Keadaan sementara
• Keadaan stabil

Keadaan transien adalah periode ketika variabel-variabel sistem atau rangkaian telah berubah seiring waktu. Sistem masih dalam keadaan transien selama sistem belum mencapai keadaan stabil.

Waktu yang diperlukan untuk rangkaian berubah dari satu keadaan stabil ke keadaan stabil lainnya disebut waktu transien.

Keadaan stabil adalah periode ketika variabel-variabel sistem atau rangkaian telah mencapai kondisi stabil. Variabel-variabel tersebut tidak berubah lagi seiring waktu.

Melihat dari grafik, kita dapat menyimpulkan kapan rangkaian berada dalam keadaan transien dan keadaan stabil, bahkan jika kita menghilangkan penjelasan teks di atas kurva.

Periode transien dimulai dari waktu awal nol hingga konstanta waktu 4 (5𝜏). Tegangan kapasitor dalam rangkaian RC ini telah mencapai sekitar 98% dari tegangan maksimum yang mungkin, sumber tegangan.

Ringkasan, waktu yang diperlukan rangkaian RC untuk mengisi kapasitor hingga tegangannya mencapai 0,98Vs adalah keadaan transien, sekitar konstanta waktu 4 (4𝜏).

Setelah waktu mencapai 5𝜏, dikatakan bahwa kapasitor dalam keadaan stabil. Kapasitor terisi penuh dan tegangan kapasitor (Vc) sama dengan sumber tegangan (Vs).

Karena kapasitor terisi penuh, kapasitor bertindak sebagai rangkaian terbuka. Oleh karena itu, tidak ada arus yang mengalir di rangkaian lagi.

Kurva grafik memiliki nilai eksponensial. Artinya, tegangan kapasitor tidak pernah mencapai 100% dari sumber tegangan dalam kondisi praktis.

Waktu setelah 5𝜏 masih merupakan periode kondisi stabil kapasitor, di mana tegangan kapasitor sekitar 99,3% dari sumber tegangan. Kita masih dapat mengatakan kapasitor terisi penuh.

Rumus Konstanta Waktu Universal

Kita dapat mengalikan persentase perubahan yang kita peroleh dengan selisih antara nilai awal dan nilai yang diinginkan. Kita dapat menggunakan rumus universal ini untuk menentukan waktu yang dibutuhkan, nilai tegangan dan arus, serta persentase perubahan:

Dimana:

Final = Nilai yang diinginkan atau nilai setelah waktu tak terhingga
Initial = Nilai awal variabel
e = Angka konstanta Euler (sekitar 2,71828)
t = Waktu dalam detik
𝜏 = Konstanta waktu dalam detik

Persamaan ini juga dianggap sebagai persamaan pengisian kapasitor.

Mari kita coba terapkan persamaan di atas dengan rangkaian di bawah ini.

Rangkaian RC di atas mempunyai resistor 10kΩ, kapasitor 100 uF, dan sumber tegangan 15V. Kita tahu bahwa konstanta waktu (𝜏) adalah perkalian resistansi (R) dan kapasitansi (C), maka

Mari kita asumsikan kapasitor dalam keadaan kosong penuh, maka nilai awalnya adalah 0 volt. Nilai yang kita inginkan adalah 15V karena kita ingin kapasitor terisi penuh.

Maka persamaan matematikanya adalah:

Mari kita coba atur waktu yang dibutuhkan menjadi 7,25 detik. Jadi, 7,25 detik setelah sakelar ditutup, nilai tegangan kapasitor telah meningkat sebesar:

Artinya kita akan mengisi kapasitor hingga 14,989 volt setelah 7,25 detik.

Tidak hanya itu, kita juga dapat menggunakan persamaan ini untuk pengisian kapasitor guna menghitung arus karena persamaan ini bersifat universal. Mari kita coba sekarang.

Perlu diingat, ada karakteristik untuk kapasitor baik yang terisi maupun yang kosong:

• Kapasitor yang kosong berfungsi sebagai hubung singkat, sehingga arus awalnya maksimum.
• Kapasitor yang terisi berfungsi sebagai hubung singkat, sehingga arus akhirnya minimum.

Dari ciri-ciri tersebut dapat kita simpulkan bahwa:

• Arus awal: I = V/R = 15V / 10kΩ = 1,5mA
• Arus akhir: 0A

Dengan menggunakan t = 7,25s yang sama, maka arus setelah 7,25s adalah:

Perhatikan bahwa nilai arus adalah negatif. Artinya arus menurun seiring waktu dari awal hingga 7,25 detik. Arus awal adalah 15 mA, sedangkan selisih setelah 7,25 adalah (-1,4989 mA).

Singkatnya, kita akan memperoleh (1,5 mA – 1,4989 mA) 0,0011 mA atau 1,1 uA setelah 7,25 detik.

Atau mungkin kita tidak memerlukan persamaan konstanta waktu untuk menemukan arus akhir. Kita dapat menggunakan hukum Ohm sederhana dengan menggunakan selisih antara tegangan awal dan akhir, dibagi dengan resistansi.

Sangatlah nyaman jika persamaan pengisian kapasitor cocok dengan hukum dasar lainnya seperti hukum Ohm.

Tabel Persamaan Pengisian Kapasitor

Kita dapat mengubah grafik pengisian kapasitor dan persamaan pengisian kapasitor menjadi satu tabel pengisian RC sederhana di bawah ini.

Contoh Persamaan Pengisian Kapasitor

Mari kita terapkan persamaan pengisian kapasitor ke dalam praktik. Temukan konstanta waktu 𝜏 untuk rangkaian RC di bawah ini.

Kita dapat menggunakan rumus konstanta waktu di atas, di mana 𝜏 = R x C, diukur dalam detik.

Oleh karena itu, konstanta waktu adalah 𝜏 = R x C = 47kΩ x 1000uF = 47s.

a) Hitunglah tegangan kapasitor pada konstanta waktu 0,7.

Tepat pada 7𝜏, tegangan kapasitor Vc sama dengan 0,5Vs.

Oleh karena itu,

Vc = 0,5Vs = 0,5 x 5V = 2,5V

b) Hitunglah tegangan kapasitor pada waktu konstan 1.

Tepat pada 7𝜏, tegangan kapasitor Vc sama dengan 0,63Vs. Oleh karena itu,

Vc = 0,63Vs = 0,5 x 5V = 3,15V

c) Hitunglah waktu yang dibutuhkan agar kapasitor terisi penuh.

Kita telah membaca grafik di atas yang menunjukkan bahwa kita memerlukan 5𝜏 untuk mengisi kapasitor hingga penuh. Kita telah memperoleh konstanta waktu dari titik ‘a’.

Oleh karena itu,

5𝜏 = 5 x 47s = 235s

d) Hitung tegangan kapasitor setelah 100 detik.

Rumus untuk tegangan kapasitor adalah Vc = V(1 – e(-t/RC)).

Oleh karena itu,

Ringkasan Persamaan Pengisian Kapasitor

Dari penjelasan panjang di atas, kita dapat meringkas persamaan pengisian kapasitor ke dalam langkah-langkah di bawah ini:

1. Temukan konstanta waktu (𝜏 = R x C).
2. Tetapkan nilai awal dan nilai akhir.
3. Gunakan rumus konstanta waktu universal dan masukkan setiap variabel yang diperoleh ke dalam persamaan.
4. Pecahkan persamaan.
5. Anda dapat menghitung waktu yang dibutuhkan hingga nilai akhir tercapai atau menghitung nilai akhir setelah jangka waktu tertentu.
6. Sekarang kita telah melihat penggunaan persamaan untuk pengisian kapasitor.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Mari kita tinjau pertanyaan yang paling sering diajukan tentang persamaan pengisian kapasitor di bawah ini: