Dalam posting ini kita akan mempelajari tentang Contoh Plot Bode dan penjelasan di baliknya untuk membantu kita menganalisis dan memanfaatkan plot bode, beserta cara membaca plot bode.
Rentang frekuensi yang diperlukan dalam respons frekuensi sering kali sangat luas sehingga tidak nyaman untuk menggunakan skala linier untuk sumbu frekuensi. Selain itu, ada cara yang lebih sistematis untuk menemukan fitur penting dari plot magnitudo dan fase fungsi transfer.
Karena alasan ini, telah menjadi praktik standar untuk menggunakan skala logaritmik untuk sumbu frekuensi dan skala linier di setiap plot magnitudo dan fase yang terpisah.
Contoh Fungsi Transfer dari Plot Bode
Plot semilogaritmik fungsi transfer—yang dikenal sebagai plot Bode—telah menjadi standar industri.
Plot Bode merupakan plot semilog dari besaran (dalam desibel) dan fase (dalam derajat) fungsi transfer versus frekuensi.
Plot Bode berisi informasi yang sama dengan plot non logaritmik yang dibahas di bagian sebelumnya, tetapi plot ini jauh lebih mudah dibuat, seperti yang akan kita lihat nanti.
Fungsi transfer dapat ditulis sebagai
Mengambil logaritma natural dari kedua sisi,
Dengan demikian, bagian riil dari ln H adalah fungsi dari besaran sedangkan bagian imajiner adalah fase. Dalam plot besaran Bode, gain
diplot dalam desibel (dB) versus frekuensi.
Dalam plot fase Bode, 𝜙 diplot dalam derajat versus frekuensi. Baik plot besaran maupun fase dibuat pada kertas grafik semilog.
Fungsi transfer dalam bentuk persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk faktor yang memiliki bagian riil dan imajiner. Salah satu representasi tersebut mungkin
yang diperoleh dengan membagi kutub dan nol dalam H(ω). Representasi H(ω) seperti dalam persamaan di atas disebut bentuk standar. Dalam kasus khusus ini, H(ω) memiliki tujuh faktor berbeda yang dapat muncul dalam berbagai kombinasi dalam fungsi transfer. Contoh fungsi transfer dari plot bode adalah:
- Penguatan K
- Kutub (jω)−1 atau nol (jω) di titik asal
- Kutub sederhana 1/(1 + jω/p1) atau nol (1 + jω/z1)
- Kutub kuadrat 1/[1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2] atau nol [1 + j2ζ1ω/ωk + (jω/ωk)2]
Dalam membuat diagram Bode, kita memplot setiap faktor secara terpisah dan kemudian menggabungkannya secara grafis. Faktor-faktor tersebut dapat dipertimbangkan satu per satu dan kemudian digabungkan secara aditif karena logaritma yang terlibat.
Contoh Diagram Bode
Kemudahan matematis logaritma inilah yang menjadikan diagram Bode sebagai alat rekayasa yang hebat.
Sekarang kita akan membuat diagram garis lurus dari faktor-faktor yang tercantum di atas. Kita akan menemukan bahwa diagram garis lurus yang dikenal sebagai diagram Bode ini mendekati diagram sebenarnya dengan tingkat akurasi yang mengejutkan.
Sekarang kita akan mencoba memahami contoh-contoh diagram Bode yang telah diselesaikan di bawah ini.
Istilah konstan: Untuk penguatan K, besarnya adalah 20 log10 K dan fasenya adalah 0o; keduanya konstan terhadap frekuensi. Jadi, diagram besarnya dan fase penguatan ditunjukkan di bawah ini. Jika K negatif, besarnya tetap 20 log10|K| tetapi fasenya adalah ±180o.
Kutub/nol di titik asal: Untuk nol (jω ) di titik asal, magnitudonya adalah 20 log10 ω dan fasenya adalah 90o. Ini diplot di bawah, di mana kita melihat bahwa kemiringan plot magnitudo adalah 20 dB/dekade, sedangkan fasenya konstan terhadap frekuensi.
Satu dekade adalah interval antara dua frekuensi dengan rasio 10; misalnya, antara ω0 dan 10ω0, atau antara 10 dan 100 Hz. Jadi, 20 dB/dekade berarti besarnya berubah 20 dB setiap kali frekuensi berubah sepuluh kali lipat atau satu dekade.
Plot Bode untuk kutub (jω)−1 serupa kecuali bahwa kemiringan plot magnitudo adalah −20 dB/dekade sementara fase adalah −90o. Secara umum, untuk (jω)N, di mana N adalah bilangan bulat, plot magnitudo akan memiliki kemiringan 20N dB/dekade, sementara fase adalah 90N derajat.
Kutub/nol sederhana: Untuk nol sederhana (1 + jω/z1), besarnya adalah 20 log10 |1 + jω/z1| dan fasenya adalah tan−1 ω/z1. Kita perhatikan bahwa
menunjukkan bahwa kita dapat memperkirakan besarnya sebagai nol (garis lurus dengan kemiringan nol) untuk nilai ω yang kecil dan dengan garis lurus dengan kemiringan 20 dB/dekade untuk nilai ω yang besar.
Frekuensi ω = z1 di mana dua garis asimtotik bertemu disebut frekuensi sudut atau frekuensi putus.
Jadi, plot besarnya perkiraan ditunjukkan di bawah ini, di mana plot sebenarnya juga ditunjukkan.
Perhatikan bahwa plot perkiraan mendekati plot sebenarnya kecuali pada frekuensi putus, di mana ω = z1 dan deviasinya adalah 20 log10|(1 + j1)| = 20 log10 √2 = 3 dB.
Fase tan−1(ω/z1) dapat dinyatakan sebagai
Sebagai perkiraan garis lurus, kita biarkan 𝜙 ≅ 0 untuk ω ≤ z1/10, 𝜙 ≅ 45◦ untuk ω = z1, dan 𝜙 ≅ 90o untuk ω ≥ 10z1. Seperti yang ditunjukkan pada grafik di atas beserta plot aktual, plot garis lurus memiliki kemiringan 45o per dekade.
Plot Bode untuk kutub 1/(1 + jω/p1) mirip dengan plot di atas, kecuali bahwa frekuensi sudut berada pada ω = p1, besarnya memiliki kemiringan −20 dB/dekade, dan fase memiliki kemiringan −45o per dekade.
Kutub kuadrat/nol: Besaran kutub kuadrat 1 /[1 + j2 ζ2 ω /ωn + (jω/ωn)2] adalah −20 log10 |1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2| dan fasenya adalah −tan−1 (2ζ2ω/ωn)/(1 − ω/ωn2). Tetapi
Dengan demikian, plot amplitudo terdiri dari dua garis asimtotik lurus: satu dengan kemiringan nol untuk ω < ωn dan yang lainnya dengan kemiringan -40dB/dekade untuk ω > ωn, dengan ωn sebagai frekuensi sudut. Grafik di bawah ini menunjukkan contoh diagram bode.
Perhatikan bahwa plot aktual bergantung pada faktor redaman ζ2 serta frekuensi sudut ωn.
Puncak yang signifikan di sekitar frekuensi sudut harus ditambahkan ke perkiraan garis lurus jika tingkat akurasi yang tinggi diinginkan.
Namun, kami akan menggunakan perkiraan garis lurus demi kesederhanaan.
Fase dapat dinyatakan sebagai
Plot fase adalah garis lurus dengan kemiringan 90o per dekade yang dimulai pada ωn/10 dan berakhir pada 10ωn, seperti yang ditunjukkan di atas.
Kita melihat lagi bahwa perbedaan antara plot aktual dan plot garis lurus disebabkan oleh faktor redaman.
Perhatikan bahwa perkiraan garis lurus untuk plot magnitudo dan fase untuk kutub kuadrat sama dengan perkiraan untuk kutub ganda, yaitu (1 + jω/ωn)−2.
Kita harus mengharapkan ini karena kutub ganda (1 + jω/ωn)−2 sama dengan kutub kuadrat 1/[1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2] ketika ζ2 = 1.
Jadi, kutub kuadrat dapat diperlakukan sebagai kutub ganda sejauh menyangkut perkiraan garis lurus.
Untuk nol kuadrat [1 +j2ζ1ω/ωk +(jω/ωk)2], plot pada grafik di atas terbalik karena plot magnitudo memiliki kemiringan 40 dB/dekade sementara plot fase memiliki kemiringan 90o per dekade.
Untuk membuat sketsa plot Bode untuk fungsi H(ω) dalam bentuk persamaan di atas, misalnya, pertama-tama kita mencatat frekuensi sudut pada kertas grafik semilog, membuat sketsa faktor satu per satu seperti yang dibahas di atas, lalu menggabungkan grafik faktor secara aditif.
Grafik gabungan sering kali digambar dari kiri ke kanan, mengubah kemiringan dengan tepat setiap kali frekuensi sudut ditemukan. Contoh berikut mengilustrasikan prosedur ini.
Ini adalah penjelasan plot bode.
Contoh Plot Bode
Mari kita tinjau contoh-contoh diagram Bode di bawah ini:
1. Buat diagram Bode untuk fungsi transfer
Jawaban:
Pertama-tama kita masukkan H(ω) ke dalam bentuk standar dengan membagi kutub dan nol. Jadi,
Oleh karena itu besaran dan fasenya adalah
Kita melihat bahwa ada dua frekuensi sudut pada ω = 2, 10. Untuk plot magnitudo dan fase, kita buat sketsa setiap suku seperti yang ditunjukkan oleh garis putus-putus di bawah ini. Kita jumlahkan secara grafis untuk memperoleh plot keseluruhan yang ditunjukkan oleh kurva padat.
2. Dapatkan plot Bode untuk
Jawaban:
Dengan meletakkan H(ω) dalam bentuk standar, kita memperoleh
Dari sini kita memperoleh besar dan fase sebagai
Ada dua frekuensi sudut pada ω = 5, 10 rad/s. Untuk kutub dengan frekuensi sudut pada ω = 5, kemiringan plot magnitudo adalah −40 dB/dekade dan plot fase adalah −90o per dekade karena pangkat 2.
Plot magnitudo dan fase untuk masing-masing suku (dalam garis putus-putus) dan keseluruhan H(jω) (dalam garis padat) ada di bawah.
3. Gambarkan plot Bode untuk
Jawaban:
Kita nyatakan H (s) sebagai
Untuk kutub kuadrat, ωn = 10 rad/s, yang berfungsi sebagai frekuensi sudut. Besaran dan fase adalah
Grafik di bawah menunjukkan plot Bode. Perhatikan bahwa kutub kuadrat diperlakukan sebagai kutub berulang pada ωk, yaitu (1 + jω/ωk)2, yang merupakan perkiraan.
4. Dengan plot Bode pada grafik di bawah, dapatkan fungsi transfer H(ω).
Jawaban:
Untuk memperoleh H(ω) dari plot Bode, kita perlu mengingat bahwa nol selalu menyebabkan putaran ke atas pada frekuensi sudut, sedangkan kutub menyebabkan putaran ke bawah.
Kita perhatikan dari grafik di atas bahwa ada nol j ω di titik asal yang seharusnya memotong sumbu frekuensi pada ω = 1. Hal ini ditunjukkan oleh garis lurus dengan kemiringan +20 dB/dekade.
Fakta bahwa garis lurus ini bergeser sebesar 40 dB menunjukkan bahwa ada penguatan sebesar 40 dB; yaitu,
Selain nol j ω di titik asal, kita melihat bahwa ada tiga faktor dengan frekuensi sudut pada ω = 1, 5, dan 20 rad/s. Jadi, kita memiliki:
- Kutub pada p = 1 dengan kemiringan -20 dB/dekade menyebabkan belokan ke bawah dan melawan kutub pada titik asal. Kutub pada z = 1 ditentukan sebagai 1 /(1 + jω/1).
- Kutub lain pada p = 5 dengan kemiringan -20 dB/dekade menyebabkan belokan ke bawah. Kutub tersebut adalah 1/(1 + jω/5).
- Kutub ketiga pada p = 20 dengan kemiringan -20 dB/dekade menyebabkan belokan ke bawah lebih lanjut. Kutub tersebut adalah 1/(1 + jω/20).
Menggabungkan semua ini memberikan fungsi transfer yang sesuai sebagai
