In diesem Beitrag erfahren wir mehr über Bode-Diagramm Beispiele und die Erklärung dahinter, die uns dabei helfen sollen, Bode-Diagramme zu analysieren und zu nutzen, sowie wie man ein Bode-Diagramm liest.
Der für die Frequenzantwort erforderliche Frequenzbereich ist oft so breit, dass es unpraktisch ist, eine lineare Skala für die Frequenzachse zu verwenden. Außerdem gibt es eine systematischere Möglichkeit, die wichtigen Merkmale der Betrags- und Phasendiagramme der Übertragungsfunktion zu lokalisieren.
Aus diesen Gründen ist es zur Standard Praxis geworden, eine logarithmische Skala für die Frequenzachse und eine lineare Skala in jedem der separaten Diagramme von Betrag und Phase zu verwenden.
Übertragungsfunktion aus Bode-Diagramm-Beispielen
Solche halblogarithmischen Darstellungen der Übertragungsfunktion – bekannt als Bode-Diagramme – sind zum Industriestandard geworden.
Bode-Diagramme sind halb logarithmische Diagramme der Größe (in Dezibel) und Phase (in Grad) einer Übertragungsfunktion gegenüber der Frequenz.
Bode-Diagramme enthalten die gleichen Informationen wie die im vorherigen Abschnitt besprochenen nicht-logarithmischen Diagramme, sind aber viel einfacher zu erstellen, wie wir gleich sehen werden.
Die Übertragungsfunktion kann wie folgt geschrieben werden:
Nimmt man den natürlichen Logarithmus beider Seiten,
Somit ist der Realteil von ln H eine Funktion der Größe, während der Imaginärteil die Phase ist. In einem Bode-Größendiagramm ist die Verstärkung
wird in Dezibel (dB) gegenüber der Frequenz aufgetragen.
In einem Bode-Phasendiagramm wird 𝜙 in Grad gegenüber der Frequenz aufgetragen. Sowohl Betrags- als auch Phasendiagramme werden auf halblogarithmischem Millimeterpapier erstellt.
Eine Übertragungsfunktion in Form der obigen Gleichung kann in Form von Faktoren geschrieben werden, die Real- und Imaginärteile haben. Eine solche Darstellung könnte sein
die durch Herauslösen der Pole und Nullstellen in H(ω) erhalten wird. Die Darstellung von H(ω) wie in der obigen Gleichung wird als Standardform bezeichnet. In diesem speziellen Fall hat H(ω) sieben verschiedene Faktoren, die in verschiedenen Kombinationen in einer Übertragungsfunktion auftreten können. Beispiele für Übertragungsfunktionen aus Bode-Diagrammen sind:
- Eine Verstärkung K.
- Ein Pol (jω)−1 oder Null (jω) im Ursprung.
- Ein einfacher Pol 1/(1 + jω/p1) oder Null (1 + jω/z1).
- Ein quadratischer Pol 1/[1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2] oder Null [1 + j2ζ1ω/ωk + (jω/ωk)2]
Beim Erstellen eines Bode-Diagramms stellen wir jeden Faktor einzeln dar und kombinieren sie dann grafisch. Die Faktoren können aufgrund der beteiligten Logarithmen einzeln betrachtet und dann additiv kombiniert werden.
Bode-Diagramm-Beispiele
Es ist diese mathematische Zweckmäßigkeit des Logarithmus, die Bode-Diagramme zu einem leistungsstarken technischen Werkzeug macht.
Wir werden nun Gerade Diagramme der oben aufgeführten Faktoren erstellen. Wir werden feststellen, dass diese Gerade Diagramme, die als Bode-Diagramme bekannt sind, die tatsächlichen Diagramme mit überraschender Genauigkeit annähern.
Nun werden wir versuchen, die unten aufgeführten Beispiele für gelöste Bode-Diagramme zu verstehen.
Konstanter Begriff: Für die Verstärkung K beträgt die Größe 20 log10 K und die Phase 0o; beide sind mit der Frequenz konstant. Daher sind die Größen- und Phasendiagramme der Verstärkung unten dargestellt. Wenn K negativ ist, bleibt die Größe 20 log10|K|, aber die Phase beträgt ±180o.
Pol/Nullpunkt im Ursprung: Für die Nullstelle (jω ) am Ursprung beträgt die Magnitude 20 log10 ω und die Phase 90o. Diese sind unten dargestellt, wobei wir feststellen, dass die Steigung der Magnituden Darstellung 20 dB/Dekade beträgt, während die Phase mit der Frequenz konstant bleibt.
Eine Dekade ist ein Intervall zwischen zwei Frequenzen im Verhältnis 10, z. B. zwischen ω0 und 10ω0 oder zwischen 10 und 100 Hz. 20 dB/Dekade bedeutet also, dass sich die Stärke um 20 dB ändert, wenn sich die Frequenz um das Zehnfache oder eine Dekade ändert.
Die Bode-Diagramme für den Pol (jω)−1 sind ähnlich, außer dass die Steigung des Magnituden Diagramms −20 dB/Dekade beträgt, während die Phase −90o beträgt. Im Allgemeinen hat das Magnituden Diagramm für (jω)N, wobei N eine Ganzzahl ist, eine Steigung von 20N dB/Dekade, während die Phase 90N Grad beträgt.
Einfache Pol-/Nullstelle: Für die einfache Nullstelle (1 + jω/z1) ist der Betrag 20 log10 |1 + jω/z1| und die Phase ist tan−1 ω/z1. Wir bemerken, dass
Dies zeigt, dass wir die Größe für kleine ω-Werte durch Null (eine gerade Linie mit Null Steigung) und für große ω-Werte durch eine gerade Linie mit Steigung von 20 dB/Dekade approximieren können.
Die Frequenz ω = z1, bei der sich die beiden asymptotischen Linien treffen, wird als Eckfrequenz oder Knickfrequenz bezeichnet.
Daher wird unten das Diagramm der ungefähren Größe gezeigt, in dem auch das eigentliche Diagramm dargestellt ist.
Beachten Sie, dass die ungefähre Darstellung der tatsächlichen Darstellung sehr ähnlich ist, außer bei der Bruch Frequenz, wo ω = z1 und die Abweichung 20 log10|(1 + j1)| = 20 log10 √2 = 3 dB beträgt.
Die Phase tan−1(ω/z1) kann wie folgt ausgedrückt werden:
Als geradlinige Näherung lassen wir 𝜙 ≅ 0 für ω ≤ z1/10, 𝜙 ≅ 45o für ω = z1 und 𝜙 ≅ 90o für ω ≥ 10z1. Wie in der obigen Grafik zusammen mit dem eigentlichen Diagramm gezeigt, hat das geradlinige Diagramm eine Steigung von 45o pro Dekade.
Die Bode-Diagramme für den Pol 1/(1 + jω/p1) ähneln denen oben, außer dass die Eckfrequenz bei ω = p1 liegt, die Magnitude eine Steigung von −20 dB/Dekade hat und die Phase eine Steigung von −45o pro Dekade hat.
Quadratische Pol-/Nullstelle: Der Betrag des quadratischen Pols 1 /[1 + j2 ζ2 ω /ωn + (jω/ωn)2] beträgt −20 log10 |1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2| und die Phase ist − tan−1 (2ζ2ω/ωn)/(1 − ω/ωn2). Aber
Somit besteht das Amplitudendiagramm aus zwei geraden asymptotischen Linien: eine mit Null Steigung für ω < ωn und die andere mit Steigung -40 dB/Dekade für ω > ωn, wobei ωn die Eckfrequenz ist. Die folgende Grafik zeigt das Bode-Diagramm Beispiel.
Beachten Sie, dass die tatsächliche Darstellung vom Dämpfungsfaktor ζ2 sowie der Eckfrequenz ωn abhängt.
Die signifikante Spitzenbildung in der Nähe der Eckfrequenz sollte zur geradlinigen Näherung hinzugefügt werden, wenn ein hohes Maß an Genauigkeit gewünscht wird.
Der Einfachheit halber werden wir jedoch die geradlinige Näherung verwenden.
Die Phase kann ausgedrückt werden als
Das Phasendiagramm ist eine gerade Linie mit einer Steigung von 90o pro Dekade, die bei ωn/10 beginnt und bei 10ωn endet, wie oben gezeigt.
Wir sehen erneut, dass der Unterschied zwischen dem tatsächlichen Diagramm und dem geradlinigen Diagramm auf den Dämpfungsfaktor zurückzuführen ist.
Beachten Sie, dass die geradlinigen Näherungen für die Betrags- und Phasendiagramme für den quadratischen Pol dieselben sind wie für einen Doppelpol, d. h. (1 + jω/ωn)−2.
Dies ist zu erwarten, da der Doppelpol (1 + jω/ωn)−2 dem quadratischen Pol 1/[1 + j2ζ2ω/ωn + (jω/ωn)2] entspricht, wenn ζ2 = 1.
Somit kann der quadratische Pol, was die geradlinige Näherung betrifft, als Doppelpol behandelt werden.
Für die quadratische Null [1 +j2ζ1ω/ωk +(jω/ωk)2] sind die Diagramme in der obigen Grafik invertiert, da das Größendiagramm eine Steigung von 40 dB/Dekade aufweist, während das Phasendiagramm eine Steigung von 90o pro Dekade aufweist.
Um beispielsweise die Bode-Diagramme für eine Funktion H(ω) in Form der obigen Gleichung zu skizzieren, zeichnen wir zuerst die Eckfrequenzen auf dem halblogarithmischen Millimeterpapier auf, skizzieren die Faktoren einzeln, wie oben beschrieben, und kombinieren dann die Diagramme der Faktoren additiv.
Das kombinierte Diagramm wird oft von links nach rechts gezeichnet, wobei die Steigungen bei jedem Auftreten einer Eckfrequenz entsprechend geändert werden. Die folgenden Beispiele veranschaulichen dieses Verfahren.
Dies ist ein Bode-Diagramm erklärt.
Bode-Diagramm-Beispiele
Sehen wir uns die Bode-Diagramm-Beispiele unten an:
1. Erstellen Sie die Bode-Diagramme für die Übertragungsfunktion
Antwort:
Wir bringen H(ω) zunächst in die Standardform, indem wir die Pole und Nullstellen heraus dividieren. Somit
Daher sind Betrag und Phase
Wir stellen fest, dass es zwei Eckfrequenzen bei ω = 2, 10 gibt. Für die Betrags- und Phasendiagramme skizzieren wir jeden Term wie unten durch die gepunkteten Linien dargestellt. Wir addieren sie grafisch, um die Gesamte Diagramme zu erhalten, die durch die durchgezogenen Kurven dargestellt sind.
2. Beschaffen Sie sich die Bode-Diagramme für
Antwort:
Wenn wir H(ω) in die Standardform setzen, erhalten wir
Daraus erhalten wir Betrag und Phase als
Es gibt zwei Eckfrequenzen bei ω = 5, 10 rad/s. Für den Pol mit Eckfrequenz bei ω = 5 beträgt die Steigung des Betrags Diagramms −40 dB/Dekade und die des Phasendiagramms −90o pro Dekade aufgrund der Zweierpotenz.
Die Betrags- und Phasendiagramme für die einzelnen Terme (gepunktete Linien) und das gesamte H(jω) (durchgezogene Linien) sind unten aufgeführt.
3. Zeichnen Sie die Bode-Diagramme für
Antwort:
Wir drücken H(s) aus als
Für den quadratischen Pol gilt ωn = 10 rad/s, was als Eckfrequenz dient. Betrag und Phase sind
Die folgende Grafik zeigt die Bode-Diagramme. Beachten Sie, dass der quadratische Pol als wiederholter Pol bei ωk behandelt wird, d. h. (1 + jω/ωk)2, was eine Näherung ist.
4. Bestimmen Sie anhand des Bode-Diagramms in der Grafik unten die Übertragungsfunktion H(ω).
Antwort:
Um H(ω) aus dem Bode-Diagramm zu erhalten, müssen wir bedenken, dass eine Null immer eine Aufwärtsdrehung bei einer Eckfrequenz verursacht, während eine Polstelle eine Abwärtsdrehung verursacht.
Aus der obigen Grafik erkennen wir, dass es eine Null j ω am Ursprung gibt, die die Frequenzachse bei ω = 1 hätte schneiden sollen. Dies wird durch die gerade Linie mit der Steigung +20 dB/Dekade angezeigt.
Die Tatsache, dass diese gerade Linie um 40 dB verschoben ist, weist auf eine Verstärkung von 40 dB hin; das heißt,
Zusätzlich zur Nullstelle j ω am Ursprung stellen wir fest, dass es drei Faktoren mit Eckfrequenzen bei ω = 1 , 5 und 20 rad/s gibt. Somit haben wir:
- Ein Pol bei p = 1 mit einer Steigung von −20 dB/Dekade verursacht eine Abwärtskurve und wirkt dem Pol am Ursprung entgegen. Der Pol bei z = 1 wird als 1 /(1 + jω/1) bestimmt.
- Ein weiterer Pol bei p = 5 mit einer Steigung von −20 dB/Dekade verursacht eine Abwärtskurve. Der Pol ist 1/(1 + jω/5).
- Ein dritter Pol bei p = 20 mit einer Steigung von −20 dB/Dekade verursacht eine weitere Abwärtskurve. Der Pol ist 1/(1 + jω/20).
Wenn man alle diese Werte zusammennimmt, erhält man die entsprechende Übertragungsfunktion als
