Knotenspannungsanalyse Schaltung und Beispiel

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Die Knotenspannungsanalyse findet die Spannungsabfälle in einem Stromkreis zwischen verschiedenen Knoten. Diese Knoten stellen eine gemeinsame Verbindung für zwei oder mehr Schaltungskomponenten bereit.

KCL und KVL reichen fast aus, um einen Stromkreis mit weniger Komplexität zu analysieren. Wir erhalten mehr Gleichungen, wenn wir KVL oder KCL für Schaltungen mit komplexeren Zweigen, Knoten und Elementen verwenden.

Sie werden sich mit vielen Gleichungen belasten, die es zu lösen gilt.

Was werden wir dann tun? Es wird eine Menge Arbeit, wenn wir Eliminierung und Substitution für mehr als 4 Gleichungen verwenden müssen.

Hier werden wir drei leistungsstarke Techniken zur Schaltungsanalyse verwenden:

Wir werden die Netzanalyse für einen späteren Beitrag aufheben. Konzentrieren wir uns jetzt auf die Knotenspannungsanalyse oder die Knotenanalyse Schaltung.

Wie der Name schon sagt, verwenden wir die Knotenspannung Methode in Bezug auf die Erde, wir nennen sie Knotenspannungsanalyse.

Was ist Knotenspannungsanalyse

Schaltungen zur Knotenanalyse ergänzen sich mit Schaltungen zur Maschenanalyse. Die Knotenanalyse Schaltung verwendet das erste Kirchhoffsche Gesetz, das aktuelle Kirchhoffsche Gesetz (KCL). Wie wir oben erwähnt haben, impliziert der Name, dass wir Knotenspannungen verwenden und sie zusammen mit der KCL verwenden.

Die Knotenanalyse erfordert, dass wir die Knotenspannungen in jedem Knoten in Bezug auf die Masse Spannung (Referenzknoten) berechnen, daher nennen wir sie die Knotenspannung Methode.

Die Knotenanalyse basiert auf einer systematischen Anwendung des aktuellen Kirchhoffschen Gesetzes (KCL). Mit dieser Technik werden wir in der Lage sein, jede lineare Schaltung zu analysieren.

Was müssen Sie vorbereiten, bevor Sie diese Methode anwenden? Denken Sie daran, dass wir “n-1“-Gleichungen erhalten, wobei n die Anzahl der Knoten einschließlich des Referenz Knotens ist. Die Verwendung dieser Schaltung Analysemethode bedeutet, dass wir uns auf die Knotenspannungen in der Schaltung konzentrieren werden.

Eigenschaften der Knotenanalyse Schaltung:

Die Knotenanalyse Schaltung verwendet das aktuelle Gesetz von Kirchhoff (KCL)
Für die “n“ Knoten (einschließlich Referenzknoten) gibt es “n-1“ unabhängige Knoten Spannungsgleichungen
Das Lösen aller Gleichungen wird uns den Wert der Knotenspannungen gewähren
Die Anzahl der Knoten (außer Nicht-Referenzknoten) ist gleich der Nummer der Knotenspannung Gleichung, die wir erhalten können.

Was ist Knotenspannung

Bevor wir fortfahren, lassen Sie uns definieren, was Knotenspannung ist.

Beachten Sie bei der Schaltung oben, wo v₁, v₂, und v₃ die Knotenspannungen sind, die den entsprechenden Knoten mit Element/en und einem anderen Knoten verbinden.

Darüber hinaus müssen wir auch einen Referenzknoten (Erdung) definieren, daher wird dieser Knoten immer als Erdungs Knoten bezeichnet. Somit beträgt diese Knotenspannung 0 V.

Wir haben viel über Knotenspannung gelesen. Aber was ist eigentlich die Knotenspannung?

Knotenspannung bedeutet die Potentialdifferenz (Spannung) zwischen zwei Knoten, an denen das Element oder der Zweig vorhanden ist. Die Knotenanalyse liefert uns eine mathematische Gleichung für jeden Nicht-Referenzknoten, bei dem die Summe der Ströme in einem Knoten Null ist.

Es gibt zwei Arten von Knoten:

Referenzknoten: Referenzknoten sind der Masse Knoten
Nicht-Referenzknoten: die zum Lösen der Schaltung verwendeten Knotenspannungen (v₁, v₂, v₃,… , v_n)

Knotenanalyse mit Widerstand

Dies ist die grundlegendste, da fast jede Schaltung mindestens einen Widerstand enthält. Angenommen, wir haben einen Widerstand zwischen zwei Knoten und der Strom fließt von Knoten V₁ nach V₂:

Und dann erhalten wir die Gleichung:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Das ist die Gleichung für einen Widerstand zwischen einem Knoten.

Was ist, wenn Knoten 2 wie unten gezeigt geerdet ist (Referenzknoten)?

Die Gleichung ist die gleiche wie oben, aber wir setzen V₂ auf 0, da es sich um einen Masse Knoten handelt.

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-0}{R}=\frac{V_{1}}{R}\end{align*}$

Knotenanalyse mit Spannungsquelle

Es kommt oft vor, dass ein Zweig aus einer Spannungsquelle in einem Widerstand besteht, wie unten gezeigt:

Wir müssen uns um die Polarität der Spannungsquelle kümmern. In der obigen Abbildung ist die positive Polarität der Spannungsquelle gegen V₁ und I gerichtet. Dies bedeutet, dass der Strom von der Spannungsquelle gegen I und V₁ fließt. Die Gleichung lautet:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Wenn die Spannungsquelle nach rechts zeigt, bedeutet dies, dass der Strom I mit dem Strom von Vs summiert wird.

Somit,

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}+V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Wenn V₂ ein Referenzknoten ist, müssen Sie V₂ nur wie zuvor auf 0 setzen.

Knotenanalyse mit Stromquelle

Wir verwenden die Knotenanalyse, um mit KCL zu arbeiten, wobei wir die Stromgleichung unter Verwendung bekannter Knotenspannungen erhalten. Was passiert, wenn es eine Stromquelle gibt? Dadurch wird unsere Gleichung einfacher. Sehen Sie sich zunächst die Abbildung unten an.

Wir setzen sowohl I₁ als auch I₂ und verlassen den Knoten V₁, während die Stromquelle Ist in den Knoten V₁ eintritt. Von der KCL sind die Ströme, die einen Knoten verlassen, gleich den Strömen, die in diesen Knoten eintreten.

Die Gleichung lautet:

$\begin{align*}I_{s}&=I_{1}+I_{2}\\I_{s}&=\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}\end{align*}$

Wenn die Stromquelle den Knoten V₁ verlässt, lautet die Gleichung:

$\begin{align*}-I_{s}+I_{1}+I_{2}&=0\\-I_{s}+\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}&=0\end{align*}$

Schaltung Verfahren für die Knotenanalyse

Beachten Sie die Schaltung unten für unsere erste Übung. Die Schaltung hat drei Widerstände und zwei Stromquellen, die alle parallel geschaltet sind. Warum verwenden wir nur Stromquellen? Am Ende dieses Themas erhalten Sie die Antwort, warum wir derzeit nur aktuelle Quellen verwenden.

Weiter geht’s,

Der erste Schritt besteht darin, einen Knoten als Referenz- oder Bezugsknoten oder als Boden Knoten zu definieren. Der Referenzknoten wird normalerweise Masse genannt, da angenommen wird, dass er Nullpotential hat.

Im zweiten Schritt weisen wir Referenzknoten Spannungsbezeichnungen zu.

Sehen Sie sich unten an, wo Knoten 0 der Referenzknoten ist (v = 0), während den Knoten 1 und 2 die Spannungen v₁ bzw. v₂ zugewiesen sind.

Denken Sie daran, dass die Knotenspannungen in Bezug auf den Referenzknoten definiert sind. Jede Knotenspannung ist der Spannungsanstieg vom Referenzknoten zum Nicht-Referenzknoten oder einfach vom Spannungsknoten zum Referenzknoten.

Der dritte Schritt besteht darin, KCL auf jeden Nicht-Referenzknoten in der Schaltung anzuwenden. Wir verwenden i₁, i₂ und i₃ als Ströme, die jeweils durch die Widerstände R₁, R₂ und R₃ fließen.

An Knoten 1 wenden wir KCL an und geben

$\begin{align*}I_{1} = I_{2} + i_{1} + i_{2}\end{align*}$

Bei Knoten 2 gibt

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} = i_{3}\end{align*}$

Wir wenden das Ohmsche Gesetz an, um den unbekannten Wert von i₁, i₂ und i₃ in Form von Knotenspannungen auszudrücken.

Da der Widerstand ein passives Element ist, muss der Strom gemäß der Vorzeichenkonvention immer von einem höheren Potential zu einem niedrigeren Potential fließen.

In einem Widerstand fließt Strom von einem höheren Potential zu einem niedrigeren Potential.

Wir können dieses Prinzip wie folgt verwenden:

$\begin{align*}i = \frac{v_{higher}-v_{lower}}{R}\end{align*}$

Wir beziehen die Ströme aus

$\begin{align*}i_{1} = \frac{v_{1}-0}{R_{1}} \quad , \quad i_{1}=G_{1}v_{1}\\i_{2} = \frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}} \quad , \quad i_{2}=G_{2}(v_{1}-v_{2})\\i_{3} = \frac{v_{2}-0}{R_{3}} \quad , \quad i_{3}=G_{3}v_{2}\end{align*}$

Das Einsetzen der Gleichungen für i₁, i₂ und i₃ in KCL-Gleichungen an Knoten 1 und 2 ergibt

$\begin{align*}I_{1}& = I_{2} + i_{1} + i_{2}\\I_{1}&=I_{2}+\frac{v_{1}}{R_{1}}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}\end{align*}$

Und

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} &= i_{3}\\I_{2}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}&=\frac{v_{2}}{R_{3}}\end{align*}$

Durch Ersetzen durch Leitwerte werden die beiden obigen Gleichungen

$\begin{align*}I_{1}=I_{2}+G_{1}v_{1}+G_{2}(v_{1}-v_{2})\\\end{align*}$

Und

$\begin{align*}I_{2}+G_{2}(v_{1}-v_{2})=G_{3}v_{2}\end{align*}$

Der vierte Schritt ist das Lösen von Knotenspannungen. Wenden wir KCL auf n – 1 Nicht-Referenzknoten an, erhalten wir n – 1 simultane Gleichungen.

Für die Schaltung im obigen Beispiel lösen wir alle Gleichungen, um die Knotenspannungen v₁ und v₂ zu erhalten, indem wir eine beliebige Standardmethode wie die Substitutionsmethode, die Eliminationsmethode, die Cramer-Regel oder die Matrixinversion verwenden.

Im Moment verwenden wir die Matrixform as

$\begin{align*}\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2} & -G_{2} \\-G_{2} & G_{2}+G_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{1}-I_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}\end{align*}$

die gelöst werden können, um v₁ und v₂ zu erhalten.

Bitte beachten Sie, dass wir den Widerstand, die Spannungsquelle und die Stromquelle in der Schaltung finden. Eine Spannungsquelle und eine Stromquelle werden besonders behandelt.

Beispiele für die Knotenspannungsanalyse

Zum besseren Verständnis sehen wir uns unten einige Beispiele an:

1. Berechnen Sie die Knotenspannungen in der folgenden Schaltung.

Lösung:

Betrachten Sie die Schaltung unten, wo die Schaltung oben für die Knotenanalyse vorbereitet wurde. Die Ströme wurden für KCL ausgewählt, mit Ausnahme der Zweige mit Stromquellen.

Die Bezeichnung des Stroms ist willkürlich, aber konsequent. (Konsistent bedeutet, wenn z. B. i₂ von der linken Seite in den 4 Ω-Widerstand eintritt, muss i₂ den Widerstand von der rechten Seite verlassen).

Der Referenzknoten wird ausgewählt und die Knotenspannungen v₁ und v₂ werden nun bestimmt.

An Knoten 1 ergibt die Anwendung von KCL und dem Ohmschen Gesetz

$\begin{align*}i_{1}&=i_{2}+i_{3}\\5&=\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+\frac{v_{1}-0}{2}\end{align*}$

Wenn wir jeden Term in der letzten Gleichung mit 4 multiplizieren, erhalten wir

$\begin{align*}20=v_{1}-v_{2}+2v_{1}\end{align*}$

oder

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

Bei Knoten 2 machen wir dasselbe und erhalten

$\begin{align*}i_{2}+i_{4}&=i_{1}+i_{5}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+10&=5+\frac{v_{2}-0}{6}\end{align*}$

Multiplizieren jedes Terms mit 12 ergibt

$\begin{align*}3v_{1}-3v_{2}+120=60+2v_{2}\end{align*}$

oder

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

Jetzt haben wir zwei simultane Gleichungen und können dann mit einer beliebigen Methode lösen, um v₁ und v₂ zu erhalten.

Methode 1

Die Verwendung der Eliminationsmethode ergibt

$\begin{align*}4v_{2}=80\Rightarrow v_{2}=20V\end{align*}$

Ersetzen Sie das obige Ergebnis durch

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

gibt

$\begin{align*}3&v_{1}-20=20\\&v_{1}=\frac{40}{30}=13.333V\end{align*}$

Methode 2

Verwenden Sie die Cramer-Regel, setzen wir

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

Und

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

in MatrixForm als

$\begin{align*}\begin{bmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20\\60\end{bmatrix}\end{align*}$

Die Determinante ist

$\begin{align*}\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5\end{vmatrix}=15-3=12\end{align*}$

Wir erhalten nun die Spannungen als

$\begin{align*}v_{1}=\frac{\triangle_{1}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}20 & -1 \\60 & 5\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{100+60}{12}=13.333V\end{align*}$

$\begin{align*}v_{2}=\frac{\triangle_{2}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}3 & 20 \\-3 & 60\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{180+60}{12}=20V\end{align*}$

2. Bestimmen Sie die Spannungen an den Knoten in der folgenden Schaltung.

Lösung:

In diesem Beispiel benötigen wir drei Nicht-Referenzknoten statt nur zwei. Wir weisen drei Knoten zu, wie oben zu sehen ist

Am Knoten 1,

$\begin{align*}3&=i_{1}+i_{x}\\3&=\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{1}-v_{2}}{2}\end{align*}$

Durch Multiplizieren mit 4 und Umordnen der Terme erhalten wir

(1) $\begin{align*}3v_{1}-2v_{2}-v_{3}=12\end{align*}$

Am Knoten 2,

$\begin{align*}i_{x}&=i_{2}+i_{3}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{2}&=\frac{v_{2}-v_{3}}{8}+\frac{v_{2}-0}{4}\end{align*}$

Durch Multiplizieren mit 8 und Umordnen der Terme erhalten wir

(2) $\begin{align*}-4v_{1}+7v_{2}-v_{3}=0\end{align*}$

Am Knoten 3,

$\begin{align*}i_{1}+i_{2}&=2i_{x}\\\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{2}-v_{3}}{8}&=\frac{2(v_{1}-v_{2})}{2}\end{align*}$

Wenn wir mit 8 multiplizieren, die Terme neu anordnen und durch 3 dividieren, erhalten wir

(3) $\begin{align*}2v_{1}-3v_{2}+v_{3}=0\end{align*}$

Wir werden jetzt die Eliminationsmethode verwenden, wir fügen (1) und (3) hinzu

(4) $\begin{align*}5v_{1}-5v_{2}&=12\\v_{1}-v_{2}&=\frac{12}{5}=2.4\end{align*}$

Die Addition von (2) und (3) ergibt

(5) $\begin{align*}-2v_{1}+4v_{2}&=0\\v_{1}&=2v_{2}\end{align*}$

Setzen wir (5) in (4) ein, erhalten wir

$\begin{align*}2v_{2}-v_{2}&=2.4V\\v_{2}&=2.4V\\v_{1}&=2v_{2}=4.8V\end{align*}$

Aus (3) erhalten wir

$\begin{align*}v_{3}&=3v_{2}-2v_{1}\\&=3v_{2}-4v_{2}\\&=-v_{2}=-2.4V\end{align*}$

Daher,

$\begin{align*}v_{1}&=4.8V\\v_{2}&=2.4V\\v_{3}&=-2.4V\end{align*}$

Als nächstes lernen wir die Superknotenanalyse kennen, wo wir Spannungsquellen treffen werden, wenn wir eine Schaltung mit Knotenanalyse lösen.

Häufig gestellte Fragen

Was versteht man unter Knotenanalyse?

Die Knotenanalyse Schaltung ist eine Methode zur Berechnung der Knotenspannung zwischen den Knoten, um den Zweigstrom zu erhalten.

Wie führt man eine Knotenanalyse durch?

1. Bestimmen Sie alle Knoten
2. Wählen Sie einen Referenzknoten (Masse)
3. Berechnen Sie alle Knotenspannungen
4. Schreiben und lösen Sie alle KCL-Gleichungen

Was sind die Grenzen der Knotenanalyse?

Obwohl es sich um ein leistungsstarkes Verfahren handelt, erfordert die Knotenanalyse Schaltung eine komplexere Ausführung, während es eine Spannungsquelle und abhängige Quellen gibt.

Was ist Knotenspannungsanalyse

Was ist Knotenspannung

Knotenanalyse mit Widerstand

Knotenanalyse mit Spannungsquelle

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Schaltung Verfahren für die Knotenanalyse

Beispiele für die Knotenspannungsanalyse

Häufig gestellte Fragen

Was versteht man unter Knotenanalyse?

Wie führt man eine Knotenanalyse durch?

Was sind die Grenzen der Knotenanalyse?

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