Bode Plot Voorbeelden

In dit bericht leren we over Bode Plot Voorbeelden en de uitleg erachter om ons te helpen bode plots te analyseren en gebruiken, samen met hoe je een bode plot leest.

Het frequentiebereik dat nodig is in frequentierespons is vaak zo breed dat het onhandig is om een ​​lineaire schaal te gebruiken voor de frequentie-as. Ook is er een meer systematische manier om de belangrijke kenmerken van de magnitude- en faseplots van de overdrachtsfunctie te vinden.

Om deze redenen is het standaardpraktijk geworden om een ​​logaritmische schaal te gebruiken voor de frequentie-as en een lineaire schaal in elk van de afzonderlijke plots van magnitude en fase.

Overdrachtsfunctie van Bode-plot voorbeelden

Dergelijke semi logaritmische grafieken van de overdrachtsfunctie, ook wel Bode-plots genoemd, zijn de industriestandaard geworden.

Bode-diagrammen zijn semi-log diagrammen waarin de grootte (in decibel) en fase (in graden) van een overdrachtsfunctie worden uitgezet tegen de frequentie.

Bode-plots bevatten dezelfde informatie als de niet-logaritmische plots die in de vorige sectie zijn besproken, maar ze zijn veel gemakkelijker te construeren, zoals we zo meteen zullen zien.

De overdrachtsfunctie kan worden geschreven als

Door de natuurlijke logaritme van beide zijden te nemen,

Het reële deel van ln H is dus een functie van de magnitude, terwijl het imaginaire deel de fase is. In een Bode-magnitude plot is de gain

wordt uitgezet in decibel (dB) versus frequentie.

In een Bode-fase plot wordt 𝜙 uitgezet in graden versus frequentie. Zowel magnitude- als fase plots worden gemaakt op semilo grafiekpapier.

Een overdrachtsfunctie in de vorm van de bovenstaande vergelijking kan worden geschreven in termen van factoren die reële en imaginaire delen hebben. Een dergelijke representatie zou kunnen zijn

die wordt verkregen door de polen en nullen in H(ω) te delen. De representatie van H(ω) zoals in de bovenstaande vergelijking wordt de standaardvorm genoemd. In dit specifieke geval heeft H(ω) zeven verschillende factoren die in verschillende combinaties in een overdrachtsfunctie kunnen voorkomen. Voorbeelden van overdrachtsfuncties uit bode plots zijn:

1. A versterking K
2. Een pool (jω)⁻¹ of nul (jω) in de oorsprong
3. Een eenvoudige pool 1/(1 + jω/p₁) of nul (1 + jω/z₁)
4. Een kwadratische pool 1/[1 + j₂ζ₂ω/ω_n + (jω/ω_n)²] of nul [1 + j₂ζ₁ω/ω_k + (jω/ω_k)²]

Bij het construeren van een Bode-plot zetten we elke factor apart in een grafiek en combineren ze vervolgens grafisch. De factoren kunnen één voor één worden beschouwd en vervolgens additief worden gecombineerd vanwege de betrokken logaritmen.

Voorbeelden van Bode-diagrammen

Het is dit wiskundige gemak van de logaritme dat Bode-plots tot een krachtig technisch hulpmiddel maakt.

We zullen nu rechte-lijn plots maken van de hierboven genoemde factoren. We zullen ontdekken dat deze rechte-lijn plots, bekend als Bode-plots, de werkelijke plots met een verrassende mate van nauwkeurigheid benaderen.

Nu zullen we proberen de opgeloste voorbeelden van bode-plots hieronder te begrijpen.

Constante termijn: Voor de gain K is de magnitude 20 log₁₀ K en de fase is 0^o; beide zijn constant met de frequentie. Dus de magnitude- en fase plots van de gain worden hieronder weergegeven. Als K negatief is, blijft de magnitude 20 log₁₀|K| maar de fase is ±180^o.

Pool/nul in de oorsprong: Voor de nul (jω ) in de oorsprong is de magnitude 20 log₁₀ ω en de fase is 90^o. Deze zijn hieronder uitgezet, waarbij we opmerken dat de helling van de magnitude plot 20 dB/decade is, terwijl de fase constant is met de frequentie.

Een decade is een interval tussen twee frequenties met een verhouding van 10; bijvoorbeeld tussen ω₀ en 10ω₀, of tussen 10 en 100 Hz. Dus, 20 dB/decade betekent dat de magnitude 20 dB verandert wanneer de frequentie tienvoudig verandert of één decade.

De Bode-plots voor de pool (jω)⁻¹ zijn vergelijkbaar, behalve dat de helling van de magnitude plot −20 dB/decade is, terwijl de fase −90^o is. Over het algemeen zal de magnitude plot voor (jω)^N, waarbij N een geheel getal is, een helling hebben van 20N dB/decade, terwijl de fase 90N graden is.

Eenvoudige pool/nul: Voor het eenvoudige nulpunt (1 + jω/z₁) is de grootte 20 log₁₀ |1 + jω/z₁| en de fase is tan⁻¹ ω/z₁. We merken op dat

wat laat zien dat we de magnitude kunnen benaderen als nul (een rechte lijn met nul helling) voor kleine waarden van ω en door een rechte lijn met helling 20 dB/decade voor grote waarden van ω.

De frequentie ω = z₁ waar de twee asymptotische lijnen elkaar ontmoeten, wordt de hoekfrequentie of breek frequentie genoemd.

Dus de benaderde magnitude grafiek wordt hieronder weergegeven, waar de werkelijke grafiek ook wordt weergegeven.

Merk op dat de benaderende grafiek dicht bij de werkelijke grafiek ligt, behalve bij de breek frequentie, waar ω = z₁ en de afwijking 20 log₁₀|(1 + j₁)| = 20 log₁₀ √2 = 3 dB is.

De fase tan⁻¹(ω/z₁) kan worden uitgedrukt als

Als een rechte-lijn benadering, laten we 𝜙 ≅ 0 voor ω ≤ z₁/10, 𝜙 ≅ 45^o voor ω = z₁, en 𝜙 ≅ 90^o voor ω ≥ 10z₁. Zoals getoond in de grafiek hierboven samen met de werkelijke plot, heeft de rechte-lijn plot een helling van 45^o per decennium.

De Bode plots voor de pool 1/(1 + jω/p₁) zijn vergelijkbaar met die hierboven, behalve dat de hoekfrequentie op ω = p1 is, de magnitude een helling heeft van -20 dB/decade, en de fase een helling heeft van -45^o per decennium.

Kwadratische pool/nul: De grootte van de kwadratische pool 1 /[1 + j₂ ζ₂ ω /ω_n + (jω/ω_n)²] is −20 log₁₀ |1 + j₂ζ₂ω/ω_n + (jω/ω_n)²| en de fase is −tan⁻¹ (2ζ₂ω/ω_n)/(1 − ω/ω_n²). Maar

De amplitude plot bestaat dus uit twee rechte asymptotische lijnen: één met een helling van nul voor ω < ωn en de andere met een helling van -40dB/decade voor ω > ω_n, met ωn als de hoekfrequentie. De grafiek hieronder toont het bode-diagram voorbeeld.

Merk op dat de werkelijke grafiek afhangt van de dempingsfactor ζ₂ en de hoekfrequentie ω_n.

De significante piek in de buurt van de hoekfrequentie moet worden toegevoegd aan de rechte-lijn benadering als een hoog nauwkeurigheidsniveau gewenst is.

We zullen echter de rechte-lijn benadering gebruiken omwille van de eenvoud.

De fase kan worden uitgedrukt als

De fase plot is een rechte lijn met een helling van 90^o per decade, beginnend bij ω_n/10 en eindigend bij 10ω_n, zoals hierboven weergegeven.

We zien opnieuw dat het verschil tussen de werkelijke plot en de rechte-lijn plot te wijten is aan de dempingsfactor.

Merk op dat de rechte-lijn benaderingen voor zowel magnitude- als fase plots voor de kwadratische pool hetzelfde zijn als die voor een dubbele pool, d.w.z. (1 + jω/ω_n)⁻².

We zouden dit moeten verwachten omdat de dubbele pool (1 + jω/ωn)−2 gelijk is aan de kwadratische pool 1/[1 + j₂ζ₂ω/ω_n + (jω/ω_n)²] wanneer ζ₂ = 1.

De kwadratische pool kan dus worden behandeld als een dubbele pool voor zover het de rechte-lijn benadering betreft.

Voor de kwadratische nul [1 +j₂ζ₁ω/ω_k +(jω/ω_k)²] zijn de grafieken in de grafiek hierboven omgekeerd omdat de magnitude grafiek een helling heeft van 40 dB/decade, terwijl de fase grafiek een helling heeft van 90◦ per decade.

Om de Bode-grafieken voor een functie H(ω) in de vorm van de bovenstaande vergelijking te schetsen, registreren we bijvoorbeeld eerst de hoekfrequenties op het semilo grafiek papier, schetsen we de factoren één voor één zoals hierboven besproken en combineren we vervolgens additief de grafieken van de factoren.

De gecombineerde grafiek wordt vaak van links naar rechts getekend, waarbij de hellingen op de juiste manier worden gewijzigd telkens wanneer een hoekfrequentie wordt aangetroffen. De volgende voorbeelden illustreren deze procedure.

Dit is een bode-grafiek uitgelegd.

Voorbeelden van Bode-plots

Laten we de onderstaande bode-plot voorbeelden eens bekijken:

1. Construeer de bode-plots voor de overdrachtsfunctie

Antwoord:

We zetten H(ω) eerst in de standaardvorm door de polen en nullen te delen. Dus,

Vandaar dat de omvang en de fase zijn

We zien dat er twee hoekfrequenties zijn bij ω = 2, 10. Voor zowel de magnitude- als de fase plots schetsen we elke term zoals weergegeven door de stippellijnen hieronder. We tellen ze grafisch op om de algehele plots te verkrijgen die worden weergegeven door de doorgetrokken curven.

2. Verkrijg de Bode-plots voor

Antwoord:

Als we H(ω) in de standaardvorm zetten, krijgen we

Hieruit verkrijgen we de grootte en fase als

Er zijn twee hoekfrequenties bij ω = 5, 10 rad/s. Voor de paal met hoekfrequentie bij ω = 5 is de helling van de magnitude plot −40 dB/decade en die van de fase plot −90^o per decade vanwege de macht van 2.

De magnitude- en fase plots voor de afzonderlijke termen (in stippellijnen) en de gehele H(jω) (in doorgetrokken lijnen) staan ​​hieronder.

3. Teken de Bode-plots voor

Antwoord:

We drukken H(s) uit als

Voor de kwadratische pool is ω_n = 10 rad/s, wat dient als de hoekfrequentie. De grootte en fase zijn

De grafiek hieronder toont de Bode-plots. Merk op dat de kwadratische pool wordt behandeld als een herhaalde pool bij ωk, dat wil zeggen (1 + jω/ω_k)², wat een benadering is.

4. Gegeven het Bode-diagram in de grafiek hieronder, verkrijgt u de overdrachtsfunctie H(ω).

Antwoord:

Om H(ω) uit de Bode-grafiek te verkrijgen, houden we in gedachten dat een nul altijd een opwaartse draai veroorzaakt bij een hoekfrequentie, terwijl een pool een neerwaartse draai veroorzaakt.

We zien in de grafiek hierboven dat er een nul j ω is in de oorsprong die de frequentie-as had moeten snijden bij ω = 1. Dit wordt aangegeven door de rechte lijn met helling +20 dB/decade.

Het feit dat deze rechte lijn met 40 dB is verschoven, geeft aan dat er een versterking van 40 dB is; dat wil zeggen,

Naast de nul j ω in de oorsprong, merken we op dat er drie factoren zijn met hoekfrequenties bij ω = 1, 5 en 20 rad/s. Dus hebben we:

1. Een paal bij p = 1 met helling -20 dB/decade om een ​​neerwaartse bocht te veroorzaken en de paal bij de oorsprong tegen te werken. De paal bij z = 1 wordt bepaald als 1 /(1 + jω/1).
2. Een andere paal bij p = 5 met helling -20 dB/decade die een neerwaartse bocht veroorzaakt. De paal is 1/(1 + jω/5).
3. Een derde paal bij p = 20 met helling -20 dB/decade die een verdere neerwaartse bocht veroorzaakt. De paal is 1/(1 + jω/20).

Als we dit allemaal bij elkaar optellen, krijgen we de bijbehorende overdrachtsfunctie als