Daya tiga fase yang seimbang hanya dapat dicapai jika rangkaian tiga fase kita memiliki tegangan tiga fase yang seimbang dan beban tiga fase yang seimbang.
Kita perlu memastikan tegangan dan arus dalam rangkaian listrik kita memiliki bentuk gelombang sinusoidal yang sama bahkan dengan sudut fase yang bergeser. Faktor dayanya harus konsisten di ketiga fase.
Rumus Daya Tiga Fase Seimbang
Ketika berhadapan dengan rangkaian AC, kita perlu menggunakan perhitungan domain waktu dan domain frekuensi.
Asumsikan kita memiliki sistem tiga fase seimbang dengan beban terhubung wye seimbang, tegangan fase adalah
di mana faktor √2 diperlukan karena Vp telah didefinisikan sebagai nilai rms tegangan fasa.
Jika ZY = Z∠θ, arus fasa tertinggal di belakang tegangan fasa yang sesuai sebesar θ. Jadi,
di mana Ip adalah nilai rms arus fasa.
Daya sesaat total pada beban adalah jumlah daya sesaat pada ketiga fasa; yaitu,
Menerapkan identitas trigonometri
memberikan
Dengan demikian, daya sesaat total dalam sistem tiga fase yang seimbang adalah konstan—daya tersebut tidak berubah seiring waktu seperti halnya daya sesaat setiap fase.
Hasil ini berlaku baik pada beban yang terhubung secara wye maupun delta.
Ini adalah salah satu alasan penting untuk menggunakan sistem tiga fase untuk menghasilkan dan mendistribusikan daya. Kita akan membahas alasan lainnya nanti.
Karena daya sesaat total tidak bergantung pada waktu, daya rata-rata per fase Pp untuk beban yang terhubung secara delta maupun beban yang terhubung secara wye adalah p/3, atau
dan daya reaktif per fase adalah
Daya semu per fase adalah
Daya kompleks per fase adalah
di mana Vp dan Ip adalah tegangan fasa dan arus fasa dengan besaran Vp dan Ip, masing-masing.
Jika Anda tidak familiar dengan daya kompleks, daya kompleks adalah nilai vektor yang mewakili daya aktif (nyata) dan reaktif. Daya semu adalah besaran absolut daya kompleks.
Daya kompleks mewakili seberapa banyak daya yang melakukan kerja (nyata) dan daya yang berosilasi maju mundur dalam suatu rangkaian (reaktif). Daya semu adalah total daya yang disuplai ke rangkaian terlepas apakah daya tersebut digunakan untuk kerja atau berosilasi.
Total daya rata-rata adalah jumlah daya rata-rata dalam fasa:
Untuk beban terhubung wye, IL = Ip tetapi VL = √3Vp, sedangkan untuk beban terhubung delta, IL = √3Ip tetapi VL = Vp.
Dengan demikian, persamaan ini berlaku untuk beban terhubung wye dan terhubung delta. Demikian pula, daya reaktif total adalah
dan total daya kompleksnya adalah
di mana Zp = Zp∠θ adalah impedansi beban per fase. (Zp bisa berupa ZY atau Z∆)
Sebagai alternatif, kita dapat menulis ulang persamaan tersebut sebagai
Ingat bahwa Vp, Ip, VL, dan IL semuanya adalah nilai rms dan bahwa θ adalah sudut impedansi beban atau sudut antara tegangan fasa dan arus fasa.
Keuntungan utama kedua dari sistem tiga fasa untuk distribusi daya adalah bahwa sistem tiga fasa menggunakan jumlah kabel yang lebih sedikit daripada sistem satu fasa untuk tegangan jalur yang sama VL dan daya serap yang sama PL.
Kita akan membandingkan kasus-kasus ini dan berasumsi bahwa pada keduanya kabel terbuat dari bahan yang sama (misalnya, tembaga dengan resistivitas ρ), dengan panjang yang sama l, dan bahwa beban bersifat resistif (yaitu, faktor daya kesatuan).
Mari kita amati sistem satu fasa di bawah ini dengan dua kabel.
Untuk sistem dua kawat fase tunggal di atas, IL = PL/VL, sehingga kehilangan daya pada dua kawat adalah
Untuk sistem tiga fase tiga kawat tiga kawat, I’L = |Ia| = |Ib| = |Ic| = PL/√3VL dari persamaan sebelumnya.
Besarnya rugi-rugi daya pada ketiga kabel tersebut adalah
Persamaan di atas menunjukkan bahwa untuk daya total yang sama yang disalurkan PL dan tegangan jalur yang sama VL,
R = ρl/πr2 dan R’ = ρl/πr2, di mana r dan r’ adalah jari-jari kawat. Jadi,
Jika daya yang hilang sama ditoleransi di kedua sistem, maka r2 = 2r’2. Rasio material yang dibutuhkan ditentukan oleh jumlah kabel dan volumenya, jadi
karena r2 = 2r’2.
Persamaan di atas menunjukkan bahwa sistem fase tunggal menggunakan material 33 persen lebih banyak daripada sistem tiga fase atau bahwa sistem tiga fase hanya menggunakan 75 persen material yang digunakan dalam sistem fase tunggal yang setara.
Dengan kata lain, material yang dibutuhkan untuk menyalurkan daya yang sama dengan sistem tiga fase jauh lebih sedikit daripada yang dibutuhkan untuk sistem fase tunggal.
Daya dalam Sistem Tiga Fase Seimbang
Tidaklah menyenangkan jika kita mengetahui bahwa suatu rangkaian memiliki daya tiga fasa yang seimbang sejak awal. Sekarang kita akan mempelajari mengapa daya tiga fasa hanya dapat dihasilkan jika sumber dan beban seimbang di semua fasa.
1. Lihat rangkaian di bawah ini. Tentukan daya rata-rata total, daya reaktif, dan daya kompleks pada sumber dan beban. Kita dapat melihat sumber tegangan memiliki besaran yang sama di semua fasa hanya dengan sudut fasa yang bergeser, hal yang sama berlaku untuk beban kita.
Cukup dengan mempertimbangkan satu fasa, karena sistemnya seimbang. Untuk fasa a,
Daya nyata atau rata-rata yang disuplai adalah -2087 W dan daya reaktif adalah -834,6 VAR.
Pada beban, daya kompleks yang diserap adalah
di mana Zp = 10 + j8 = 12,81∠38,66o dan Ip = Ia = 6,81∠−21,8o.
Oleh karena itu
Daya nyata yang diserap adalah 1391,7 W dan daya reaktif yang diserap adalah 1113,3 VAR.
Selisih antara dua daya kompleks diserap oleh impedansi jalur (5 − j2) Ω.
Untuk menunjukkan bahwa ini adalah kasusnya, kita menemukan daya kompleks yang diserap oleh jalur sebagai
yang merupakan selisih antara Ss dan SL, yaitu, Ss + Sl + SL = 0, seperti yang diharapkan.
2. Motor tiga fase dapat dianggap sebagai beban wye yang seimbang. Motor tiga fase menarik daya 5,6 kW ketika tegangan jalur 220 V dan arus jalur 18,2 A. Tentukan faktor daya motor.
Jawaban:
Daya semu adalah
Karena daya nyatanya adalah
faktor daya adalah
3. Dua beban seimbang dihubungkan ke jalur 240 kV rms 60 Hz, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
Beban 1 menarik daya 30 kW pada faktor daya 0,6 lagging, sementara beban 2 menarik daya 45 kVAR pada faktor daya 0,8 lagging.
Dengan asumsi urutan abc, tentukan:
(a) daya kompleks, daya nyata, dan daya reaktif yang diserap oleh beban gabungan,
(b) arus jalur, dan
(c) nilai kVAR dari tiga kapasitor yang terhubung delta secara paralel dengan beban yang akan menaikkan faktor daya menjadi 0,9 lagging dan kapasitansi masing-masing kapasitor.
Jawaban:
(a) Untuk beban 1, jika diketahui P1 = 30 kW dan cos θ1 = 0,6, maka sin θ1 = 0,8.
Oleh karena itu,
dan Q1 = S1 sin θ1 = 50(0.8) = 40 kVAR. Jadi, daya kompleks akibat beban 1 adalah
Untuk beban 2, jika Q2 = 45 kVAR dan cos θ2 = 0,8, maka sin θ2 = 0,6. Kita temukan
dan P2 = S2 cos θ2 = 75(0.8) = 60 kW. Oleh karena itu daya kompleks akibat beban 2 adalah
Total daya kompleks yang diserap oleh beban adalah
yang memiliki faktor daya cos 43,36o = 0,727 lagging. Daya nyatanya adalah 90 kW, sedangkan daya reaktifnya adalah 85 kVAR.
(b) Karena S = √3VLIL, arus jalurnya adalah
Kami menerapkan ini pada setiap beban, dengan mengingat bahwa untuk kedua beban, VL = 240 kV. Untuk beban 1,
Karena faktor daya tertinggal, arus jalur tertinggal dari tegangan jalur sebesar θ1 = cos−1 0,6 = 53,13o. Jadi,
Untuk beban 2,
dan arus jalur tertinggal dari tegangan jalur sebesar θ2 = cos−1 0,8 = 36,87o.
Oleh karena itu,
Arus total jalur adalah
Atau, kita bisa mendapatkan arus dari total daya kompleks menggunakan
Dan
yang sama seperti sebelumnya. Arus jalur lainnya, Ib2 dan Ica, dapat diperoleh menurut urutan abc (yaitu, Ib = 297,82∠−163,36o mA dan Ic = 297,82∠76,64o mA).
(c) Kita dapat menemukan daya reaktif yang dibutuhkan untuk membawa faktor daya ke 0,9 lagging,
di mana P = 90 kW, θold = 43,36o, dan θnew = cos−1 0,9 = 25,84o.
Oleh karena itu,
Daya reaktif ini diperuntukkan bagi tiga kapasitor. Untuk setiap kapasitor, nilai Q’C = 13,8 kVAR. Kapasitansi yang dibutuhkan adalah
Karena kapasitor terhubung delta seperti ditunjukkan di bawah, Vrms dalam rumus di atas adalah tegangan jalur ke jalur atau tegangan jalur, yaitu 240 kV.
Dengan demikian,
