Formel des Thevenin-Theorems, Ersatzschaltkreis, gelöste Beispiele

Warum müssen wir etwas über die Formel des Thevenin-Theorems lernen? Dies ist sehr nützlich, wenn Sie einen Stromkreis mit komplexer Konfiguration analysieren.

Das Thevenin-Theorem kann uns beim Umgang mit elektrischen Analysen in der Praxis sehr hilfreich sein. Es ist normal, dass manchmal eine Komponente in einem Stromkreis variabel ist (ihre Last kann sich von Zeit zu Zeit ändern), während andere Komponenten fest sind.

Das einfachste Beispiel hierfür ist unsere elektrische Haushaltslast. Wir werden unsere elektrischen Geräte an unsere Steckdose anschließen. Dabei kann es sich um eine Lampe, ein Ladegerät, einen Fernseher, einen Kühlschrank, einen Computer und vieles mehr handeln. Unser Punkt hier ist, dass die Last eine variable Komponente für den Stromkreis unseres Haushalts sein wird.

Es wird eine lästige Sache sein, wenn wir jedes Mal, wenn wir verschiedene Geräte anschließen, unser elektrisches System analysieren wollen. Hier setzt das Thevenin-Theorem an! Wir analysieren die feste Komponente im Stromkreis in einem vereinfachten Ersatzschaltbild und müssen sie nicht noch einmal analysieren, wenn sich die variable Komponente ändert.

Dadurch sparen wir viel kostbare Zeit.

Was ist das Thevenin-Theorem?

Beachten Sie die Abbildung unten, in der der lineare Zweipolkreis unsere festen Komponenten darstellt, während sich die Last häufig ändern kann. Dies gilt auch für den Satz von Norton.

Wir können die lineare Schaltung mit zwei Anschlüssen durch die entsprechende Thevenin-Schaltung ersetzen, wie unten gezeigt:

Die Last kann nur ein Widerstand oder sogar ein anderer Schaltkreis sein. Dieses Thevenin-Ersatzschaltbild ist unser Hauptaugenmerk bei der Analyse elektrischer Schaltkreise. Wenn die Last durch eine beliebige Komponente ersetzt wird, bleibt das Thevenin-Ersatzschaltbild unverändert.

Der Satz von Thevenin besagt:

Ein linearer Schaltkreis mit zwei Anschlüssen kann zu einem Schaltkreis vereinfacht werden, der nur aus einer Spannungsquelle V_Th besteht, die mit einem äquivalenten Widerstand R_Th zwischen den beiden betrachteten Anschlüssen in Reihe geschaltet ist.

Der eigentliche Kern dieses Theorems besteht darin, eine Schaltungsanalyse zu vereinfachen, das heißt, eine Ersatzschaltung zu erstellen, die aus einer Spannungsquelle besteht, die mit ihrem Ersatzwiderstand in Reihe geschaltet ist.

Was ist die Formel des Thevenin-Theorems?

Nachdem wir gelernt haben, wie das Thevenin-Theorem funktioniert, müssen wir noch verstehen, wie wir mathematische Lösungen implementieren, um es vollständig zu verstehen.

Unsere Hauptziele sind:

• Thevenin-Äquivalentspannung, V_Th
• Thevenin-Äquivalentwiderstand, R_Th

Bedenken Sie, dass wir sie als äquivalent bezeichnen können, wenn Spannung und Strom an ihren Anschlüssen immer noch gleich sind.

Aus der obigen Abbildung können wir anhand des Substitutionssatzes ersehen, dass der Stromkreis B durch eine Spannungsquelle mit demselben Wert ersetzt werden kann, wenn der Strom durch Stromkreis B an den beiden beobachteten Anschlüssen (Anschluss a-b) fließt.

Nachdem wir den Substitutionskreis erhalten haben, erhalten wir mithilfe des Superpositionssatzes Folgendes:

1. Wenn eine Spannungsquelle V aktiv ist, ist die lineare Schaltung A nicht aktiv (alle ihre unabhängigen Quellen werden durch ihren Innenwiderstand ersetzt), sodass wir den Ersatzwiderstand berechnen können. In diesem Schritt geht es darum, eine Thevenin-Resistenz oder R Thevenin zu finden.

2. Wenn der lineare Schaltkreis A aktiv ist, wird die unabhängige Spannungsquelle durch ihren Innenwiderstand ersetzt, der Null ist oder kurzgeschlossen ist.

Nach Vereinheitlichung dieser beiden Bedingungen (Superpositionssatz) erhalten wir:

Wenn der Anschluss a-b ein offener Stromkreis (OC) ist, dann ist der im Stromkreis fließende i Null (i=0).

Hier geht es um die V. Formel des Thevenin-Theorems. Aus den Gleichungen (1) und (2) erhalten wir

Die V-thevenin-Formel ist gleich V;

Notiz:

Es ist keine Seltsamkeit, wenn der Thevenin-Widerstand R_Th einen negativen Wert hat. Der negative Widerstand führt dazu, dass die Spannung (v=-iR) negativ wird. Das bedeutet, dass der Stromkreis Strom liefert. Ein negativer Widerstand ist möglich, wenn der Stromkreis über abhängige Quellen verfügt.

Nachfolgend finden Sie eine Zusammenfassung zur Berechnung der Thevenin-Spannung.

Thevenin‘ Widerstandsformel

Wir müssen den Wert des Thevenin-Widerstands (R Thevenin-Formel) als Ersatzwiderstand für den Stromkreis ermitteln.

Die Schritte, die wir unternehmen müssen, um zu verstehen, wie man die Veninresistenz findet, sind:

1. Als Erstes schalten wir alle unabhängigen Quellen im linearen Schaltkreis A aus.
2. Ersetzen Sie die Spannungsquelle mit ihrem Innenwiderstand R=0 oder schließen Sie sie kurz.
3. Ersetzen Sie die Stromquelle mit ihrem Innenwiderstand R=∞ oder öffnen Sie den Stromkreis.
4. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand im Stromkreis.
5. Wenn der Stromkreis abhängige Quellen hat, müssen wir den „Kurzschlussstrom“ (i_sc) ermitteln.
6. Der Venin-Ersatzwiderstand (R_Th) kann aus der Spannung am gewünschten Anschluss dividiert durch den durch den kurzgeschlossenen Anschluss fließenden Strom (i_sc) berechnet werden.

Zusammenfassend ist der Venin-Widerstand (R_Th-Formel) der Widerstand, der an den Anschlüssen a-b gemessen wird, wenn alle Spannungsquellen durch einen Kurzschluss und die Stromquellen durch einen offenen Stromkreis ersetzt werden.

Verfahren des Thevenin-Theorems

1. Finden und bestimmen Sie das Terminal a-b, an dem der Parameter abgefragt oder beobachtet wird.

2. Entfernen Sie die Komponente an der Klemme a-b, öffnen Sie den Stromkreis an dieser Klemme und berechnen Sie die Spannung an dieser Klemme a-b (V_ab=V_oc=V_Th).

3. Wenn nur unabhängige Quellen vorhanden sind, wird der Widerstand an der Klemme a-b gemessen, wenn alle Quellen abgeschaltet und durch ihren Innenwiderstand ersetzt werden. Wir erhalten den Thevenin-äquivalenten Widerstand (R_ab = R_Th)

• Bei Kurzschluss Spannungsquelle ersetzen.
• Ersetzen Sie die Stromquelle durch einen offenen Stromkreis.

4. Wenn es eine abhängige Quelle gibt, verwenden wir die folgende Gleichung, um den Thevenin-Äquivalentwiderstand zu ermitteln:

5. Um den Wert von i_sc (Kurzschlussstrom) zu ermitteln, schließen wir die Klemme a-b kurz und berechnen den durch diese Klemme fließenden Strom (I_ab=i_sc).

6. Zeichnen Sie das Thevenin-Ersatzschaltbild neu als Reihenschaltung bestehend aus:

• Die entfernte Komponente haben wir in Schritt (2) durchgeführt.
• Thevenin-Spannung/ Leerlaufspannung/ a-b-Spannung (V_Th=V_oc=V_ab)
• Thevenin-Äquivalentwiderstand (R_Th).

7. Lösen Sie die vereinfachte Schaltung.

Thevenins Spannungsformel

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Thevenin-Spannung zu ermitteln, sind dies die einfachsten Schritte:

1. Bestimmen Sie den Anschluss a-b, an dem der Parameter beobachtet wird.
2. Entfernen Sie die Komponente an der Klemme a-b, machen Sie den Stromkreis an dieser Klemme offen und berechnen Sie die Spannung an dieser Klemme a-b (V_ab=V_oc=V_Th).

Thevenin mit unabhängiger Quelle

1. Finden Sie den Wert von i mit dem Thevenin-Theorem!

Lösung:

Bestimmen Sie Terminal a-b auf R, wo i beobachtet wird. Entfernen Sie die Komponente und öffnen Sie den Stromkreis. Berechnen Sie die Spannung an Klemme a-b bei offenem Stromkreis:

Wir erhalten das V_ab oder V_oc

Mithilfe der R_Th-Thevenin-Formel ermitteln wir den Thevenin-Widerstand R_Th, wenn alle unabhängigen Quellen ausgeschaltet sind (ersetzen Sie sie durch ihren Innenwiderstand). Aus der Terminal-A-B-Perspektive:

Somit erhalten wir die Thevenin-Widerstandsformel

Wir zeichnen die Schaltung in die Thevenin-Ersatzschaltung um:

Somit,

2. Finden Sie den Wert von i mit dem Thevenin-Theorem!

Lösung:

Bestimmen Sie den Terminal a-b auf R, wo i beobachtet wird. Entfernen Sie die Komponente und berechnen Sie die Spannung an Klemme a-b bei offenem Stromkreis:

Mit Knotenanalyse:

Knotenspannung v1 beachten:

Daher

Finden Sie den Thevenin-Widerstand R_Th, wenn alle unabhängigen Quellen ausgeschaltet sind, und ersetzen Sie sie durch ihren Innenwiderstand. Aus der Terminal-A-B-Perspektive:

Dann lautet die Thevenin-Widerstandsformel R_Th

Zeichnen Sie das Thevenin-Ersatzschaltbild neu:

Daher,

3. Finden Sie die Spannung an der Klemme a-b mit dem Thevenin-Theorem!

Lösung:

Finden Sie V_ab, wenn Klemme a-b offen ist:

Dann das V_ab:

Daher

Finden Sie den Thevenin-Widerstand, wenn alle unabhängigen Quellen ausgeschaltet und durch ihren inneren Widerstand ersetzt werden. Aus der a-b-Perspektive:

Dann

Dann ist das Thevenin-Ersatzschaltbild:

Somit,

 

Thevenin mit abhängiger Quelle

1. Finden Sie den Wert von V mit dem Thevenin-Theorem!

Lösung:

Finden Sie V_ab, bei dem die Spannung an R = 3 Ω ist, und machen Sie dann den offenen Stromkreis dieses Anschlusses:

Dann

Da die Schaltung über eine abhängige Quelle verfügt, können wir nicht alle Quellen ausschalten, um die R_Th zu erhalten. Zuerst müssen wir den Kurzschlussstrom i_sc ermitteln:

Dann

Daher

Wir zeichnen das Thevenin-Ersatzschaltbild neu:

Und wir bekommen,

2. Finden Sie den Wert i mit dem Thevenin-Theorem!

Lösung:

Finden Sie V_ab, wenn Klemme a-b offen ist:

Wir bekommen

Da es eine abhängige Quelle gibt, können wir zum Finden von R_Th nicht alle Quellen direkt ausschalten. Wir ermitteln zunächst den Wert von i_sc:

Wir bekommen:

Dann,

Wir zeichnen das Thevenin-Ersatzschaltbild neu:

Und wir bekommen

Beispiele für Thevenin-Theorem

1. Zeichnen Sie den Schaltkreis unten in seinen Thevenin-Äquivalentschaltkreis links vom a-b um. Finden Sie den Strom durch den RL, wenn RL=6,16,36 Ω.

Lösung:

Zuerst entfernen wir den beobachteten Anschluss, schalten alle seine unabhängigen Quellen ab und ersetzen sie durch ihre Innenwiderstände:

• Schalten Sie die 32-V-Spannungsquelle ab und ersetzen Sie sie durch einen Kurzschluss.
• Schalten Sie die 2-A-Stromquelle aus und ersetzen Sie sie durch einen offenen Stromkreis.

Die Schaltung sieht wie folgt aus:

Wir erhalten den Thevenin-Äquivalentwiderstand R_Th als:

Um den V_Th zu finden, können wir die Maschenanalyse für die beiden Schleifen auf der linken Seite verwenden, wie unten gezeigt:

Wir erhalten

Mit i2 können wir i1 = 0,5 A lösen. Daher gilt:

Für einfachere Lösungen können wir auch die Knotenanalyse verwenden. Ignorieren Sie den 1-Ω-Widerstand, da durch den offenen Stromkreis kein Strom fließt. Aus dem Knoten V_Th mit KCL ergibt sich:

Der Wert ist derselbe wie zuvor. Als nächstes zeichnen wir die Schaltung in die Thevenin-Ersatzschaltung um:

Der durch RL fließende Strom beträgt

RL = 6,

RL = 16,

RL = 36,

2. Zeichnen Sie den Schaltkreis unten in seinen Thevenin-Äquivalentschaltkreis an den Anschlüssen a-b um.

Lösung:

Da der Stromkreis über eine abhängige Spannungsquelle verfügt, ersetzen wir dennoch alle unabhängigen Quellen durch ihre Innenwiderstände, lassen aber die abhängige Quelle in Ruhe.

Da es eine abhängige Quelle gibt, versorgen wir den Stromkreis mit einer Spannungsquelle vo, die wie unten gezeigt an die Klemme angeschlossen ist. Wir setzen die Spannungsquelle vo=1 V, um die Berechnung zu vereinfachen, da die Schaltung linear ist und sich die Spannung-Strom-Beziehung nicht ändert.

Als nächstes müssen wir den Wert von io über die Anschlüsse a-b ermitteln, um den Wert des Thevenin-Äquivalentwiderstands zu erhalten:

Wir können auch die Stromquelle io an die Klemmen a-b anschließen und V_Th ermitteln, um R_Th zu erhalten:

Mithilfe der Netzanalyse wird die Schleife 1 erzeugt

Aber

Daher,

Für Schleife 2 ergibt sich KVL

Für Schleife 3 ergibt sich KVL

Das Lösen dieser drei Gleichungen ergibt

Aber

Daher,

Um die Thevenin-Äquivalentspannung (V_Th) zu erhalten, finden wir die Leerlaufspannung V_oc in der folgenden Schaltung:

Die Verwendung der Netzanalyse für die drei Schleifen ergibt:

Schleife 1:

Schleife 2:

Schleife 3:

Aber

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt

Daher,

Wir können die Schaltung wie unten gezeigt in ihre Thevenin-Äquivalentschaltung umwandeln

3. Wandeln Sie die Schaltung unten in die Thevenin-Ersatzschaltung an den Klemmen a-b um.

Genau wie im vorherigen Beispiel versorgen wir den Stromkreis entweder mit einer 1-V-Spannungsquelle oder einer 1-A-Stromquelle. In diesem Fall verwenden wir eine Stromquelle mit Knotenanalyse. Die Schaltung wird unten dargestellt

Angenommen, io = 1 A. Die Verwendung der Knotenanalyse ergibt

Jetzt haben wir zwei unbekannte Variablen, aber nur eine Gleichung. Wir brauchen die Zwangsgleichung

Das Einsetzen von Gleichung (3.2) in (3.1) ergibt

Seit

Dann

Dies ist das Beispiel, wenn der Widerstand einen negativen Wert hat. Das bedeutet, dass unser Stromkreis Strom liefert. Genau genommen ist die abhängige Quelle diejenige, die Strom liefert. Somit ergibt sich das Thevenin-Ersatzschaltbild