SuperKnotenanalyse Einfache Lösung - Wira Elektrotechnik-Portal

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Die Superknotenanalyse oder Superknotenanalyse wird immer noch als Knoten- oder Knotenanalyse betrachtet, jedoch mit einem Sonderfall, bei dem eine Spannungsquelle in einem Stromkreis vorhanden ist. Wenn wir genau beobachten oder die Knotenanalyse gründlich lesen, vermeiden wir es, einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle mittels Knotenanalyse zu analysieren.

Weißt du, warum?

Die einfache Knotenanalyse kann einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle nicht lösen. Wir müssen die Schaltung ein wenig modifizieren, bevor wir die Knotenanalyse anwenden. Die Modifizierung Schaltung und deren Lösung mit der Knotenanalyse wird als Supernodal- oder SuperKnotenanalyse bezeichnet.

Nachdem wir diese Analysemethode gelernt haben, müssen wir die Knotenanalyse für eine Schaltung mit einer Spannungsquelle nicht mehr vermeiden.

Lesen Sie dieses Thema gründlich durch, um die SuperKnotenanalyse, superknoten-Beispiele und Problemlösung vollständig zu verstehen, und natürlich einige superknoten-Beispiele, die uns helfen, uns an die Verwendung zu erinnern.

Da sie als SuperKnotenanalyse bezeichnet wird, denken einige von Ihnen vielleicht, dass diese Methode schwieriger ist als die Knotenanalyse. Selbst wenn wir die Schaltung modifizieren müssen, ist diese Super Knotenanalyse so einfach wie die Knotenanalyse.

Beginnen wir gleich mit der Theorie. Wir werden auch über SuperKnotenanalyse probleme mit Lösungen lernen.

Theorie der SuperKnotenanalyse

Wie der Name schon sagt, wird ein superknoten immer noch als Knotenanalyse betrachtet, da sein Hauptaugenmerk immer noch auf den Knoten liegt. Ist die Knotenanalyse einfacher zu verwenden als die Superknotenanalyse? Sie werden für verschiedene Fälle verwendet, daher können wir nicht sagen, welcher einfacher ist. Es ist nur eine Knotenanalyse mit einem Superknoten.

Die Knotenanalyse sieht einfacher aus, ist aber nur auf die Stromquelle in der Schaltung beschränkt, ohne eine einzige Spannungsquelle. Deshalb können wir uns darauf nicht verlassen, um eine Schaltung mit einer Spannungsquelle zu lösen. Hier setzt die SuperKnotenanalyse an.

Betrachten wir die Schaltung unten und erkennen Sie den Unterschied zur vorherigen Schaltung, die wir in der Knotenanalyse haben.

Haben Sie den Unterschied entdeckt?

Die obige Schaltung hat nur Spannungsquellen ohne eine einzige Stromquelle. Was können wir aus der Schaltung herausholen? Was ist ein superknoten im Circuit?

Die obige Schaltung hat zwei Fälle:

FALL 1 – Beobachten Sie die 10-V-Quelle am äußersten linken Zweig, der mit dem Nicht-Referenzknoten v₁ und dem Referenzknoten (Masse Knoten) verbunden ist.

Dieser Fall ist wirklich einfach, wir müssen keine Änderungen oder erweiterte Analysen vornehmen. Da zwischen diesen beiden Knoten nur eine Spannungsquelle angeschlossen ist, hat die Knotenspannung v₁ den gleichen Wert wie die Spannungsquelle.

$\begin{align*}v_{1}=10V\end{align*}$

Eine einzelne Spannungsquelle in einem Zweig macht es wirklich einfach durch diese Kenntnis der Spannung.

Der zweite Fall erfordert zusätzlichen Aufwand zur Lösung, da es eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten v₂ und v₃ gibt. Diese beiden Knoten bilden das, was wir verallgemeinerte Knoten oder Superknoten genannt haben. Wir können immer noch KCL und KVL verwenden, um Knotenspannungen zu berechnen.

Beachten Sie Folgendes, um einen Superknoten zu definieren:

Ein Superknoten wird gebildet, wenn eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten und allen parallel dazu geschalteten Elementen angeschlossen wird.

Wie wir bei der Knotenanalyse gelernt haben, müssen wir nur KCL verwenden, um den Strom zu finden, der in jedem Zweig oder Element fließt.

Aber für einen superknoten ist es unmöglich zu berechnen, wie viel Strom durch eine Spannungsquelle fließt. Was können wir dann tun? Wir können jede Methode verwenden, um dies zu berechnen, aber stellen Sie sicher, dass Sie die KCL auf dem superknoten genauso erfüllen wie auf jedem anderen Knoten.

Zuerst schreiben wir die KCL-Gleichung für die obige Schaltung,

$\begin{align*}i_{1}+i_{4}&=i_{2}+i_{3}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{2}+\frac{v_{1}-v_{3}}{4}&=\frac{v_{2}-0}{8}+\frac{v_{3}-0}{6}\end{align*}$

Dann verwenden wir die KVL für den superknoten. Aber vorher müssen wir die Schaltung wie unten gezeigt neu zeichnen.

Die Schleife im Uhrzeigersinn ergibt:

$\begin{align*}-v_{2}+5+v_{3}&=0\\v_{2}-v_{3}&=5\end{align*}$

Nachdem wir die Gleichungen erhalten haben, wird die Berechnung der Knotenspannungen jetzt einfacher. Nachdem wir bis zu diesem Punkt gelernt haben, müssen wir uns an die folgenden Eigenschaften der SuperKnotenanalyse erinnern:

Die Spannungsquelle innerhalb des Superknotens liefert die fehlende Gleichung, um alle Knotenspannungen zu lösen.
Ein superknoten hat keine eigene Spannung.
Ein superknoten erfordert die Anwendung von KCL und KVL.

Verfahren zur SuperKnotenanalyse

Das Verfahren für die SuperKnotenanalyse unterscheidet sich nicht von dem Verfahren der Knotenanalyse, das wir zuvor gelernt haben, wie zum Beispiel:

Identifizieren Sie alle Knoten in der Schaltung, einschließlich des Superknotens.
Legen Sie einen Knoten als Referenzknoten fest. Es fungiert normalerweise als Boden, also fügen Sie ihm einfach ein Boden Symbol hinzu.
Knotenspannung anderen Knoten zuweisen (v₁, v₂, v₃ usw.).
Entfernen Sie zuerst die Spannungsquelle vom Stromkreis.
Schreiben Sie die KCL-Superknotengleichungen (Ströme, die in einen Superknoten eintreten, sind gleich den Strömen, die den Superknoten verlassen).
Verwenden Sie die KVL-Gleichung für die Schleife, in der eine Spannungsquelle vorhanden ist, wenn Sie die Beziehung zwischen zwei Knoten finden müssen, in denen eine Spannungsquelle vorhanden ist. (Um die fehlende Gleichung zu vervollständigen).
Schreiben Sie alle KCL-Gleichungen, die Sie finden können (machen Sie die Summe des Ausgangsstroms von einem Zweig gleich Null).
Verwenden Sie Substitution, Eliminierung, Cramers Regel usw.

Um es einfacher zu machen, springen Sie einfach zu den Beispielen unten. Habe Spaß!

Beispiele für SuperKnotenanalyse

Jetzt werden wir versuchen, die superknoten-Probleme mit den folgenden Antworten besser zu verstehen.

1. Beobachten Sie die Schaltung unten und finden Sie die Knotenspannungen.

Lösung:

Wie wir bereits gelesen haben, wird ein Superknoten gebildet, wenn eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten und allen parallel dazu geschalteten Elementen angeschlossen wird. In unserem Fall besteht der Superknoten aus der 2-V-Quelle, den Knoten 1 und 2 und dem 10-Ω-Widerstand. Wir entfernen diese, um die Schaltung unten neu zu zeichnen:

Wir verwenden die KCL für den obigen superknoten und erhalten

$\begin{align*}2=i_{1}+i_{2}+7\end{align*}$

Das Schreiben der KCL-Gleichung für i₁ und i₂ unter Verwendung von Knotenspannungsvariablen ergibt:

(1.1) $\begin{align*}2&=\frac{v_{1}-0}{2}+\frac{v_{2}-0}{4}+7\\8&=2v_{1}+v_{2}+28\\v_{2}&=-20-v_{1}\end{align*}$

Uns fehlt noch die Beziehung zwischen v₁ und v₂, wir werden KVL für die Schaltung unten verwenden.

Von der Schleife im Uhrzeigersinn erhalten wir

(1.2) $\begin{align*}-v_{1}-2+v_{2}&=0\\v_{2}&=v_{1}+2\end{align*}$

Aus den Gleichungen (1.1) und (1.2) erhalten wir

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}+2&=-20-2v_{1}\\3v_{1}=-22 \quad&\rightarrow\quad v_{1}=-7.333V\end{align*}$

wir bekommen

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}+2=-5.333V\end{align*}$

Beachten Sie, dass das Vorhandensein eines 10-Ω-Widerstands nichts bewirkt, da er nur über den superknoten angeschlossen ist.

2. Finden Sie die Knotenspannungen in der Schaltung unten. Diese Schaltung wird mehr Zeit in Anspruch nehmen, da wir eine Knotenanalyse mit 2 Superknoten durchführen.

Lösung:

Es gibt zwei superknoten in der Schaltung, dies sind die Knoten 1 und 2 sowie die Knoten 3 und 4. Beobachten Sie die obige Schaltung und verwenden Sie KCL für zwei superknoten.

Für Superknoten 1 und 2,

$\begin{align*}i_{3}+10=i_{1}+i_{2}\end{align*}$

Unter Verwendung der Terme der Knotenspannungen für die Gleichung der Superknoten 1-2 ergibt sich:

(2.1) $\begin{align*}\frac{v_{3}-v_{2}}{6}+10=\frac{v_{1}-v_{4}}{3}+\frac{v_{1}}{2}\\5v_{1}+v_{2}-v_{3}-2v_{4}=60\end{align*}$

Für superknoten 3-4 haben wir die KCL-Gleichung zusammen mit ihren Knotenspannungen,

(2.2) $\begin{align*}i_{1}&=i_{3}+i_{4}+i_{5}\\\frac{v_{1}-v_{4}}{3}&=\frac{v_{3}-v_{2}}{6}+\frac{v_{4}}{1}+\frac{v_{3}}{4}\\4v_{1}+2v_{2}&-5v_{3}-16v_{4}=0\end{align*}$

Als nächstes verwenden wir KVL für die Zweige, die Spannungsquellen haben, wie unten gezeigt.

Für Schleife 1,

(2.3) $\begin{align*}-v_{1}+20+v_{2}&=0\\v_{1}-v_{2}&=20\end{align*}$

Für Schleife 2,

$\begin{align*}-v_{3}+3v_{x}+v_{4}=0\end{align*}$

Vergiss das nicht

$\begin{align*}v_{x}=v_{1}-v_{4}\end{align*}$

dann

(2.4) $\begin{align*}3v_{1}-v_{3}-2v_{4}=0\end{align*}$

Für Schleife 3,

$\begin{align*}v_{x}-3v_{x}+6i_{3}-20=0\end{align*}$

Wir wissen das

$\begin{align*}6i_{3}&=v_{3}-v_{2}\\v_{x}&=v_{1}-v_{4}\end{align*}$

Somit,

(2.5) $\begin{align*}-2v_{1}-v_{2}+v_{3}+2v_{4}=20\end{align*}$

Um alle Gleichungen zu vervollständigen, die wir haben, brauchen wir das Ergebnis von vier Knotenspannungen (v₁, v₂, v₃ und v₄). Alle Gleichungen (2.1) bis (2.5) haben wir früher bekommen, wir brauchen nur vier, um die restlichen Gleichungen zu lösen. Die fünfte Gleichung ist nur ein Extra, sie kann verwendet werden, um unsere Berechnung zu überprüfen.

Das Einsetzen von Gleichung (2.3) in (2.1) bzw. (2.2) ergibt

(2.6) $\begin{align*}6v_{1}-v_{3}-2v_{4}=80\end{align*}$

Und

(2.7) $\begin{align*}6v_{1}-5v_{3}-16v_{4}=40\end{align*}$

Die Gleichungen (2.4), (2.6) und (2.7) können wie unten gezeigt in Matrixform gelöst werden

$\begin{align*}\begin{bmatrix}3 & -1 & -2 \\6 & -1 & -2 \\6 & -5 & -16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{3}\\v_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\80\\40\end{bmatrix}\end{align*}$

Dann wenden wir die Cramersche Regel an und erhalten

$\begin{align*}\Delta&=\begin{vmatrix}3 & -1 & -2 \\6 & -1 & -2 \\6 & -5 & -16\end{vmatrix}=-18\\\\\Delta_{1}&=\begin{vmatrix}0 & -1 & -2 \\80 & -1 & -2 \\40 & -5 & -16\end{vmatrix}=-480\\\\\Delta_{3}&=\begin{vmatrix}3 & 0 & -2 \\6 & 80 & -2 \\6 & 40 & -16\end{vmatrix}=-3120\\\\\Delta_{4}&=\begin{vmatrix}3 & -1 & 0 \\6 & -1 & 80 \\6 & -5 & 40\end{vmatrix}=840\end{align*}$

Daher sind die Knotenspannungen

$\begin{align*}v_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-480}{-18}=26.67V\\v_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-3120}{-18}=173.33V\\v_{4}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{840}{-18}=-46.67V\end{align*}$

and

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}-20=6.667V\end{align*}$

Häufig gestellte Fragen

Häufig gestellte FragenWas ist ein superknoten?

Ein Superknoten wird gebildet, wenn eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten und allen parallel dazu geschalteten Elementen angeschlossen wird.

Was ist eine SuperKnotenanalyse?

Die Superknotenanalyse ist eine Knotenanalyse, wenn eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten vorhanden ist. Diese Analyse wird die Schaltung manipulieren, um zusätzliche Gleichungen zu geben, um die unbekannten Variablen zu finden.

Wann superknoten verwendet werden sollte?

Superknoten wird verwendet, wenn eine Spannungsquelle zwischen zwei Nicht-Referenzknoten und allen parallel dazu geschalteten Elementen vorhanden ist.