{"id":28,"date":"2021-07-24T05:16:00","date_gmt":"2021-07-24T05:16:00","guid":{"rendered":"http:\/\/wiraelectrical.com\/id\/2020\/01\/18\/apa-itu-diagram-fasor-dan-bilangan-kompleks\/"},"modified":"2024-12-29T03:13:51","modified_gmt":"2024-12-29T03:13:51","slug":"apa-itu-diagram-fasor-dan-bilangan-kompleks","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wiraelectrical.com\/id\/apa-itu-diagram-fasor-dan-bilangan-kompleks\/","title":{"rendered":"Apa itu Diagram Fasor dan Bilangan Kompleks"},"content":{"rendered":"\n

Fasor dapat digunakan untuk menggambarkan gelombang sinusoidal dengan mudah, dimana metode yang praktis daripada menggunakan fungsi sinus atau cosinus.<\/p>\n

Fasor adalah bilangan kompleks yang mewakili amplituda dan fase sebuah sinusoidal.<\/blockquote>\n

Fasor memberikan metode sederhana untuk menganalisa rangkaian linear yang memperoleh energi dari sumber sinusoidal. Usaha untuk menyelesaikan rangkaian ac menggunakan metode ini diperkenalkan pertama kali oleh Charles Steinmetz pada tahun 1893. Sebelum kita mempelajari fasor, kita harus menguasai bilangan kompleks terlebih dahulu.<\/p>\n\n\n\n

Diagram Fasor dan Bilangan Kompleks<\/h2>\n\n\n\n

Bilangan kompleks z<\/i> dapat dinyatakan dalam bentuk rectangular<\/i> (persegi panjang) seperti<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(1a)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

dimana\u00a0j<\/i>\u00a0= (\u221a-1);\u00a0x<\/i>\u00a0adalah nilai nyata (real) dari\u00a0z<\/i>; sedangkan\u00a0y<\/i>\u00a0adalah nilai imajiner (imaginary) dari\u00a0z<\/i>.<\/p>\n

Kali ini, x<\/i> dan y<\/i> tidak merujuk pada kordinat atau lokasi seperti pada vektor dua dimensi, tetapi merujuk pada nilai nyata dan imajiner dari z pada bidang kompleks. Meskipun, akan ada penggunaan bilangan komples dengan metode analisa vektor dua dimensi.
Bilangan kompleks z juga dapat digambarkan alam bentuk polar dan eksponensial seperti<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(1b)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

dimana\u00a0r<\/i> adalah nilai dari z<\/i>, dan \u2205 adalah fase dari z. Kita dapat menyimpulkan bahwa z<\/i> dapat digambarkan dalam tiga bentuk :<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Hubungan antara bentuk rectangular dan bentuk polar dapat dilihat pada Gambar.(1), dimana sumbu x mewakili nilai nyata dan sumbu y mewakili nilai imajiner.<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Gambar 1. Gambaran nilai kompleks\u00a0z<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Dengan nilai x<\/i> dan y<\/i>, kita dapat menghitung r<\/i> dan \u2205 dengan<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(3a)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Sebaliknya, jika kita memiliki r<\/i> dan \u2205, kita dapat menghitung x<\/i> dan y<\/i> dengan<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(3b)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Jadi, z<\/i> dapat ditulis ulang menjadi<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(4)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Pengurangan dan pertambahan dari bilangan kompleks dapat dengan mudah dilakukan pada bentuk rectangular; perkalian dan pembagian dapat dengan mudah dilakukan pada bentuk polar. Dengan bilangan kompleks :<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(5)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Kita dapat menggunakan operasi berikut :
Pertambahan<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6a)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Pengurangan<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6b)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Perkalian<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6c)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Pembagian<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6d)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Kebalikan<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6e)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Akar kuadrat<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6f)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Konjugasi kompleks<\/b><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6g)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Perhatikan Persamaan.(6e)<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(6h)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Semua persamaan ini dibutuhkan sebagai operasi dasar bilangan kompleks. Teori dasar yang mewakili fasor berdasarkan identitas Euler. Secara umum,<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

yang menunjukkan bahwa kita dapat menganggap cos\u2205 dan sin\u2205 sebagai nilai nyata dan imajiner dari\u00a0e<\/i>j<\/i>\u2205<\/sup>, kita dapat menulis<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(8a)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(8b)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

dimana Re dan Im adalah nilai nyata dari<\/i> dan nilai imajiner dari<\/i>. Diberikan sebuah contoh sinusoidal\u00a0v(t)<\/i>\u00a0=\u00a0Vm<\/sub><\/i>\u00a0cos(<\/span>\u03c9t<\/i>\u00a0+\u00a0\u2205<\/span>)<\/span>, kita gunakan Persamaan.(8a) untuk menyatakan\u00a0v(t)<\/i>\u00a0sebagai<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(9)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

atau<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(10)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Sehingga<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(11)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

dimana<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(12)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Sehingga, V<\/b> adalah perwakilan fasor dari sinusoidal v(t)<\/i>, seperti yang telah kita pelajari sebelumnya. Sesuai nama, fasor adalah sebuah perwakilan bilangan kompleks untuk nilai dan fase sebuah gelombang sinusoidal. Kita dapat menggunakan Persamaan.(8a) atau (8b) untuk membuat fasor, tetapi standar konversi berada di Persamaan.(8a)<\/p>\n

Coba lihat Persamaan.(11) dan (12) sekali lagi untuk melihat sinor<\/i>\u00a0V<\/b>e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0=\u00a0Vm<\/sub><\/i>e<\/i>j<\/i>(\u03c9<\/i>t<\/i>\u00a0+\u00a0\u00f8<\/span>)<\/sup>\u00a0pada bidang kompleks. Seiring bertambahnya waktu, sinor bergerak melingkar pada sebuah lingkaran dengan radius\u00a0Vm<\/sub><\/i>\u00a0dengan kecepatan anguler\u00a0\u03c9<\/i>\u00a0dengan arah berlawanan jarum jam, seperti yang digambarkan Gambar.(2a). Dapat kita asumsikan v(t)<\/i>\u00a0sebagai proyeksi dari sinor\u00a0V<\/b>e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0pada sumbu real, seperti yang digambarkan Gambar.(2b).<\/p>\n

Nilai dari sinor pada t = 0 adalah fasor V<\/b> dari sinusoidal v(t). Sinor dapat diasumsikan sebagai fasor yang melingkar. Sehingga, kapanpun sinusoidal terbentuk sebagai fasor, istilah\u00a0e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0akan ada secara implisit. Kita harus perhatikan frekuensi\u00a0\u03c9<\/i>\u00a0pada fasor, atau kesalahan akan terjadi.<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Gambar 2.\u00a0Perwakilan\u00a0V<\/b>e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0: (a) sinor berputar berlawanan arah jarum jam, (b) proyeksinya pada sumbu real, sebagai fungsi waktu<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Persamaan.(11) merujuk pada cara untuk memperoleh sinusoidal dengan fasor V, kalikan fasor dengan faktor waktu\u00a0e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0dan ambil nilai nyatanya. Sebuah fasor dapat dinyatakan dalam bentuk rectangular, polar, dan eksponensial. Fasor bekerja sebagai vektor dan ditulis dengan cetak tebal (bold) karena merupakan nilai dan fase (arah). Sebagai contoh,\u00a0V<\/b>\u00a0=\u00a0Vm<\/sub><\/i>\u2220\u2205 dan\u00a0I<\/b>\u00a0=\u00a0Im<\/sub><\/i>\u2220\u2205 digambar dalam grafik di Gambar.(3). Nama dari gambar grafik ini adalah diagram fasor<\/i>.<\/p>\n

Persamaan.(9) sampai (11) menunjukkan bahwa kita sebaiknya menyatakan sinusoidal dalam bentuk cosinus terlebih dahulu sehingga sinusoidal dapat dibentuk sebagai angka real dari bilangan kompleks untuk memperoleh fasor yang berkaitan. Setelah itu, kita ambil\u00a0e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0dan apapun yang tersisa adalah fasor yang berkaitan dengan sinusoidal. Metode transformasi ini ditulis sebagai berikut,<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(13)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Gambar 3. Diagram fasor dari\u00a0V<\/b>\u00a0=\u00a0<\/span>Vm<\/sub><\/i>\u2220\u2205 dan\u00a0<\/span>I<\/b>\u00a0=\u00a0<\/span>Im<\/sub><\/i>\u2220\u2205<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Asumsikan kita memiliki sinsuoidal\u00a0v(t)<\/i>\u00a0=\u00a0Vm<\/sub><\/i>\u00a0cos(<\/span>\u03c9t<\/i>\u00a0+\u00a0\u2205<\/span>)<\/span>, kita peroleh fasor\u00a0V<\/b>\u00a0=\u00a0Vm<\/sub><\/i>\u2220\u2205. Persamaan.(13) juga muncul di Tabel.(1), dimana fungsi sinus dianggap sebagai tambahan untuk fungsi cosinus. Dari Persamaan.(13), kita anggap untuk memperoleh perwakilan fasor dari sebuah sinusoidal, kita dapat menyatakan dalam bentuk cosinus dan ambil nilainya sebagai fasor dan argument sebagai\u00a0\u03c9t<\/i>\u00a0ditambah fase dari fasor.<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Tabel 1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Amati bahwa di Persamaan.(13), faktor frekuensi fasor (atau waktu)\u00a0e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>\u00a0dihilangkan, dan frekuensi tidak ditunjukkan secara eksplisit di perwakilan domain fasor karena\u00a0\u03c9 <\/i>adalah konstan. Namun, respon bergantung pada\u00a0<\/span>\u03c9<\/i>.\u00a0Untuk alasan ini, domain fasor juga dikenal dengan domain frekuensi<\/i>.<\/p>\n

\n
\n
Dari Persamaan.(11) dan (12), <\/span>v(t)<\/i>\u00a0= Re(<\/span>V<\/b>e<\/i>j\u03c9t<\/i><\/sup>) =\u00a0<\/span>Vm<\/sub><\/i>\u00a0cos<\/span>(<\/span>\u03c9t<\/i>\u00a0+\u00a0\u2205<\/span>)<\/span>, sehingga<\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(14)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Dari persamaan di atas, nilai derivatif v(t)<\/i> ditransformasikan dalam domain fasor sebagai\u00a0j<\/i>\u03c9<\/i>. Diferensial sebuah sinusoidal ekuivalen dengan mengalikannya dengan fasor yang berkaitan oleh\u00a0j<\/i>\u03c9<\/i>.<\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(15)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Begitu juga, integral dari v(t)<\/i> ditransformasikan ke domain fasor sebagai V<\/b>\/j<\/i>\u03c9<\/i>. Mengintegralkan sebuah sinusoidal ekuivalen dengan membagi fasor yang berkaitan oleh\u00a0j<\/i>\u03c9.<\/i><\/p>\n\n\n\n\n
\"Diagram<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
(16)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Persamaan.(15) dan (16) berguna untuk menentukan solusi stabil (steady-state), dimana tidak perlu untuk mengetahui nilai awal dari variabel yang terlibat. Aplikasi lain yang penting dari fasor adalah menemukan pertambahan dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama.<\/p>\n

Perbedaan antara v(t)<\/i> dan V<\/b> perlu didefinisikan :<\/p>\n