Rumus Gelombang Sinusoidal dan Contoh Soal

Gelombang sinusoidal adalah salah satu dari bentuk gelombang yang penting di Teknik Elektro. Setelah banyak penjelasan mengenai rangkaian dc, sekarang kita akan membahas materi tingkat lanjutan. Pada rangkaian listrik, terdapat dua jenis sumber listrik : ac (alternating current = arus bolak balik) dan dc (direct current = arus searah). Pastikan kalian telah membaca pembahasan rangkaian dc terlebih dahulu untuk dapat memahami penjelasan berikutnya. Hal ini dikarenakan kita membatasi teori dasar rangkaian listrik hanya pada rangkaian dc.

Apa itu Gelombang Sinusoidal

Sebelum kita mulai, kenapa kita harus mempelajari rangkaian ac? Walaupun materi ini lebih sulit untuk dipelajari, tetapi mempelajari hal ini dapat menghasilkan banyak keuntungan. Dalam sejarah, sumber dc merupakan sumber listrik utama hingga akhir tahun 1800-an. Pada awal abad berikutnya, listrik ac diperkenalkan. Keduanya menghasilkan persaingan sengit antar insinyur. Karena ac memiliki efisiensi yang lebih baik dan transmisi dengan nilai ekonomis yang lebih baik, sehingga ac tampil sebagai pemenang.

Sumber sinusoidal berperan dalam rangkaian ac, seperti halnya sumber dc berperan dalam rangkaian dc.

Gelombang sinus adalah bentuk gelombang yang memiliki bentuk fungsi cosinus atau sinus.

Pada sebagian besar waktu, listrik ac merujuk pada gelombang sinus. Gelombang sinus berarti nilainya terdiri dari nilai positif dan negatif dengan interval waktu tertentu. Sebuah rangkaian ac adalah rangkaian yang dioperasikan oleh sumber tegangan atau arus ac.Untuk memahami peran rangkaian ac, kalian perlu memahami terlebih dahulu definisi rangkaian listrik.Sebagai permulaan, kenapa kita perlu mempelajari rangkaian ac? Apa kelebihan dari ac dibandingkan dc walaupun lebih kompleks? Sumber ac memiliki beberapa kelebihan yang patut diperhatikan dan dipelajari.Pertama adalah karakteristiknya sebagai bentuk gelombang sinus. Kita sering menjumpai gerakan sebuah pendulum, getaran pada senar, atau riak pada air. Kedua, sinyal sinus mudah untuk dihasilkan dan ditransmisikan. Kelistrikan yang disuplai ke dunia, rumah, pabrik, industri, laboratorium, dan lain – lain memiliki bentuk gelombang sinus. Ketiga, kita dapat mengimplementasikan Analisa Fourier untuk menganalisa sinyal periodik yang memiliki karakteristik bentuk gelombang sinus. Dan yang terakhir, gelombang sinus mudah untuk dianalisa karena adanya fungsi integral dan derivatif yang merupakan sinusoidal.

Rumus Gelombang Sinusoidal

Perhatikan fungsi sinusoidal dari tegangan ac :

(1)

dimana

ωt  = bentuk argument of sinusoid.
Bentuk gelombang sinusoidal di Gambar.(1a) menunjukkan fungsi dari argumen dan Gambar.(1b) sebagai fungsi dalam waktu.

 

Gambar 1. Gambar Vm sin ωt : (a) dalam fungsi ωt, (b) dalam fungsi t.

Melihat dari gambar, kalian akan memperoleh gambaran dari “siklus berulang” dari sinusoidal setiap T detik, sehingga, T dapat dinamakan periode sinusoidal. Dari dua gambar di Gambar.(1), kita menyimpulkan ωT = 2π,

(2)

Perhatikan v(t) memiliki nilai berulang tiap T detik dengan mengganti nilai t menjadi t + T di Persamaan.(1). Kita peroleh

(3)

Sehingga,

(4)

bahwa, v memiliki nilai yang sama ketika t + T seperti ketika saat t dan v(t) disebut periodik. Secara umum,

Sebuah fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi f(t) = f(t + nT); untuk semua t dan untuk semua integer n.

T berbeda dengan t, dimana T adalah waktu yang dibutuhkan satu siklus untuk selesai atau berapa detik tiap siklus, yang dikenal juga dengan periode. Nilai yang berlawanan dengan periode (T)  adalah frekuensi (f) dari sinsuoidal, berarti berapa siklus per detik. Sehingga,

(5)

Dari Persamaan.(2) dan (5) kita simpulkan

(6)

Dimana ω dalam radians/detik (rad/s) dan f dalam Hertz (Hz).

Mari kita lihat persamaan gelombang sinusoidal,

(7)

dimana (ωt + ø) adalah argumen dan ø adalah fase. Keduanya dapat dinyatakan dalam radian atau derajat.
Terdapat dua sinusoidal

(8)

Seperti yang digambarkan Gambar.(2). Nilai awal dari v₂ di Gambar.(2) muncul untuk pertama kali. Dari Gambar.(2) kita dapat mengatakan bahwa v₂ mendahului v₁ sebesar ø atau v₁ tertinggal v₂ sebesar ø. Jika ø ≠ 0, kita juga dapat mengatakan bahwa v₁ dan v₂ berbeda fase. Jika ø = 0, maka v₁ dan v₂ dikatakan 1 fase; keduanya mencapai nilai minimal dan maksimum di waktu yang sama. Kita dapat membandingkan keduanya karena beroperasi di frekuensi yang sama walaupun amplituda berbeda. Berikut kita simak cara menggambar grafik fungsi sinusoidal.

Gambar 2. Dua sinusoidal dengan fase berbeda

Tiap bentuk gelombang sinusoidal dapat diekspresikan dengan cosinus atau sinus. Ketika membandingkan keduanya, akan lebih mudah jika keduanya dibuat dalam bentuk yang sama, baik itu cosinus atau sinus dengan amplituda positif. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan trigonometri berikut :

(9)

Menggunakan identitas trigonometri akan dengan mudah untuk mengamati bahwa

(10)

Dengan menggunakan fungsi ini kita akan dengan mudah mengubah cosinus menjadi sinus atau kebalikannya.

Sebuah gambar grafik dapat digunakan sebagai pembanding atau penghubung sebagai metode alternatif untuk menggunakan fungsi trigonometri di Persamaan.(9) dan (10).

Gambar 3. Grafik (a) cos(ωt – 90o) = sinωt, (b) sin(ωt + 180o) = -sinωt

Perhatikan bagian sumbu dari Gambar.(3a).

 

Sumbu horizontal merujuk pada nilai cosinus dan sumbu vertikal (menghadap bawah) merujuk pada nilai sinus. Sudut diukur oleh nilai positif pada arah berlawanan jarum jam dari sumbu horizontal. Metode perhitungan ini dapat digunakan untuk membandingkan dua sinusoidal.

Sebagai contoh, kita simak Gambar.(3a) dari mengurangi 90^o dari cosωt menghasilkan sinωt, atau cos(ωt – 90^o) = sinωt. Cukup mirip, menambahkan 180^o ke sinωt menghasilkan -sinωt, atau sin(ωt + 180^o) = -sinωt, seperti yang digambarkan Gambar.(3b).

Metode grafik ini dapat menambahkan dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama ketika salah satu memiliki bentuk gelombang sinus dan yang lain gelombang cosinus. Untuk menambahkan A cosωt dan B sinωt seperti di Gambar.(4a), A adalah nilai dari cosωt dan B adalah nilai dari sinωt.

 

 

Gambar 4. (a) Menambahkan A cosωt dan B sinωt, (b) Menabmbahkan 3 cosωt dan -4 sinωt.

Sehingga,

 

(11)

Dimana

(12)

Sebagai contoh kita menambahkan 3 cosωt dan -4 sinωt seperti di Gambar.(4b) dan memperoleh

(14)

 

Baca juga : Daya sesaat dan rata-rata

Contoh Soal Gelombang Sinusoidal

2. Tentukan sudut fase antara v₁ = -10 cos(ωt + 50^o) dan v₂ = 12 sin(ωt – 10^o). Tentukan gelombang mana yang mendahului

Metode 1 : v₁ dan v₂ memiliki bentuk berbeda, sehingga kita harus membuat keduanya memiliki bentuk yang sama dalam bentuk cosinus,

(2.1)

dan

(2.2)

Dapat dilihat dari (2.1) dan (2.2) dapat kita simpulkan bahwa perbedaan sudut fase keduanya adalah  30^o. Kita dapat menulis ulang v₂ menjadi

(2.3)

Membandingkan (2.1) dan (2.3) menunjukkan v₂ mendahului sebesar 30^o

Metode 2 : Mari kita nyatakan v₁ dalam bentuk sinus

Tetapi v₂ = 12 sin(ωt – 10^o). Membandingkan keduanya menunjukkan v₁ tertinggal v₂ sebanyak ωt, sama dengan v₂ leads v₁ by 30^o.

Metode 3 : Kita dapat nyatakan v₁ sebagai -10 cosωt dengan +50^o pergeseran fase. Kita gambar v₁ di Gambar.(5)

Gambar 5

Mirip, v₂ adalah 12 sinωt dengan -10^o pergeseran fase seperti di Gambar.(5). Kita simpulkan v₂ mendahului v₁ by 90^o – 50^o – 10^o = 30^o.

For English and better explanation read Sinusoidal or Sine Waveform : Basic Theory of AC Circuit.