Rumus Daya Sesaat dan Daya Rata Rata

Rumus daya rata rata adalah perhitungan yang penting dalam rangkaian listrik. Daya rata-rata p(t) diserap oleh sebuah elemen yang merupakan hasil perkalian dari tegangan sesaat v(t) pada elemen dengan arus sesaat i(t) yang melaluinya.

Rumus Daya Sesaat dan Daya Rata Rata

(1)

Daya sesaat (dalam watt) adalah daya pada waktu sesaat.

Tinjau kasus umum dari daya sesaat yang terserap oleh kombinasi elemen rangkaian dengan eksitasi sinusoidal, seperti di Gambar.(1).

 

Gambar 1. Rangkaian linear pasif dan sumber sinusoidal

Biarkan tegangan dan arus pada terminal seperti

(2a)

(2b)

dimana V_m dan I_m adalah amplituda (atau nilai puncak),dan θ_v dan θ_i merupakan sudut fasa tegangan dan arus secara berurutan. Daya sesaat yang diserap rangkaian adalah

(3)

Kita aplikasikan identitas trigonometri

(4)

dan nyatakan Persamaan.(3) menjadi

(5)

Hal ini menunjukkan bahwa daya sesaat memiliki dua bagian. Pertama adalah bebas dari konstanta atau waktu. Nilainya bergantung dari perbedaan fasa antara tegangan dan arus. Kedua adalah fungsi sinusoidal dimana frekuensinya 2ω, yang mana dua kali dari frekuensi angular dari tegangan atau arus.

Ketika p(t) bernilai positif, daya diserap oleh rangkaian. Ketika p(t) bernilai negatif; daya mengalir dari rangkaian ke sumber. Hal ini mungkin terjadi karena elemen penyimpan (kapasitor dan induktor) pada rangkaian.

 

Gambar 2. Daya sesaat p(t) memasuki rangkaian

Daya sesaat berubah sesuai waktu sehingga sulit untuk dihitung. Daya rata rata lebih praktis untuk dihitung. Faktanya, wattmeter, alat untuk menghitung daya, merespon daya rata rata.

Daya rata rata, dalam watt, adalah rata rata dari daya sesaat dalam satu periode.

(6)

Meskipun Persamaan.(6) menunjukkan rata rata selama T, kita akan mendapat nilai yang sama jika kita melakukan integral pada periode aktual dari p(t) dimana T₀ = T/2.

(7)

Integral pertama adalah konstan, dan rata rata dari konstanta adalah konstanta yang sama. Integral kedua adalah sinusoidal. Kita tahu bahwa rata rata dari sinusoidal dalam satu periode adalah nol karena area di bawah sinusoidal ketika setengah siklus positif saling berlawanan dengan sinusoidal ketika setengah siklus negatif. Jadi, kondisi kedua di Persamaan.(7) menghilang dan daya rata rata menjadi

(8)

Karena cos(θ_v – θ_i) = cos(θ_v – θ_i), hal yang penting adalah perbedaan pada fasa tegangan dan arus.

Perhatikan p(t) nilainya berubah berdasarkan waktu sedangkan P tidak bergantung pada waktu. Untuk memperoleh daya sesaat, kita perlu memiliki v(t) dan i(t) pada domain waktu. Tetapi kita dapat mendapatkan daya rata rata ketika tegangan dan arus dinyatakan dalam domain waktu, seperti di Persamaan.(8), atau ketika keduanya dinyatakan dalam domain frekuensi.

Bentuk fasor dari v(t) dan i(t) di Persamaan.(2) adalah V = V_m∠θ_v dan I = I_m∠θ_i, berurutan. P dihitung menggunakan Persamaan.(8) atau menggunakan fasor V dan I. Untuk menggunakan fasor, kita perhatikan

(9)

Kita amati bagian real dari persamaan ini sebagai daya rata rata P berdasarkan Persamaan.(8).
Jadi,

(10)

Amati kasus khusus di Persamaan.(10). Ketika θ_v=θ_i,  tegangan dan arus dalam satu fasa. Ini menandakan rangkaian resistif murni atau beban R, dan

(11)

dimana |I|² = I x I*. Persamaan.(11) menunjukkan bahwa rangkaian resistif murni menyerap daya pada setiap saat. Ketika θ_v – θ_i = ± 90^o, kita memiliki rangkaian murni reaktif, dan

(12)

Menunjukkan rangkaian reaktif murni menyerap daya rata rata. Ringkasannya

Beban resistif (R) menyerap daya setiap saat, sedangkan beban reaktif (L atau C) tidak menyerap daya rata rata.

Baca juga : Teorema Thevenin

Contoh Soal Daya Sesaat dan Daya Rata Rata

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita simak contoh di bawah :
1. Diberikan
v(t) = 120 cos(377t + 45^o) V and i(t) = 10 cos(377t – 10^o) A
tentukan daya sesaat dan daya rata rata yang diserap oleh jaringan linear pasif di Gambar.(1)
Solusi :
Daya sesaatnya adalah

Gunakan identitas trigonometri

menjadi

atau

Daya rata rata adalah

yang mana adalah konstanta dari p(t) di atas.

2. Hitung daya rata rata yang diserap oleh impedansi Z = 30 – j70 Ω ketika tegagan V = 120 ∠0^o diaplikasikan padanya
Solusi :
Arus yang mengalir pada impedansi tersebut adalah

Daya rata rata

3. Untuk rangkaian di Gambar.(3), tentukan daya rata rata disuplai oleh sumber dan daya rata rata yang diserap resistor.

Gambar 3

Solusi :
Arus I diperoleh dari

Daya rata rata yang disuplai oleh sumber tegangan adalah

Arus pada resistor

dan tegangannya

Daya rata rata yang diserap resistor adalah

dimana sama dengan daya rata rata yang disuplai. Nol daya rata rata diserap kapasitor.

4. Tentukan daya rata rata yang dihasilkan tiap sumber dan daya rata rata yang diserap tiap elemen pasif pada rangkaian di Gambar.(4a).

Gambar 4

Solusi :
Kita gunakan analisis mesh seperti di Gambar.(4b). Untuk mesh 1,

Untuk mesh 2,

atau

Untuk sumber tegangan, arus yang mengalir darinya adalah I₂ = 10.58∠79.1^o A dan tegangannya 60∠30^o V, sehingga daya rata ratanya

Berdasarkan konvensi tanda pasif, daya rata rata ini terserap oleh sumber, dilihat dari arah I₂ dan polaritas sumber tegangan. Jadi, rangkaian mengalirkan daya rata rata ke sumber tegangan.

Untuk sumber arus, arus yang melaluinya adalah I₁ = 4∠0^o dan tegangannya adalah

Daya rata rata yang disuplai sumber arus adalah

Nilainya negatif berdasarkan konvensi tanda pasif, berarti sumber arus menyuplai daya ke rangkaian.

Untuk resistor, arus yang melaluinya adalah I₁ = 4∠0^o dan tegangannya 20I₁ = 80∠0^o, sehingga daya terserap oleh resistor adalah

Untuk kapasitor, arus yang melaluinya adalah I₂ = 10.58∠79.1^o dan tegangannya –j5I₂ = (5∠-90^o)(10.58∠79.1^o) = 52.9∠79.1 – 90^o .
Daya rata rata yang diserap kapasitor

Untuk induktor, arus yang melaluinya adalah I₁ – I₂ = 2 – j10.39 = 10.58∠-79.1^o dan tegangannya –j10(I₁ – I₂) = 10.58∠-79.1^o + 90^o . Jadi daya rata rata yang diserap induktor adalah

Perhatikan bahwa induktor dan kapasitor tidak menyerap daya rata rata dan daya total yang disuplai sumber arus setara dengan daya yang diserap oleh resistor dan sumber tegangan, atau

menunjukkan daya telah terkonversi.

For English read Instantaneous Power and Average Power Formula.