Analisis Supernode Penyelesaian Mudah - Wira Electrical Engineering Portal

Jika persamaan tidak ditampilkan dengan benar, silakan gunakan tampilan desktop

Analisis supernode atau analisis supernodal masih dianggap sebagai analisis node atau nodal tetapi dengan kasus khusus dimana sumber tegangan ada dalam rangkaian listrik. Jika kita mengamati dengan seksama atau membaca analisis node secara menyeluruh, kita menghindari menganalisis rangkaian listrik dengan sumber tegangan menggunakan analisis node.

Apa kalian tahu kenapa?

Analisis node sederhana tidak dapat menyelesaikan rangkaian listrik dengan sumber tegangan. Kita perlu memodifikasi rangkaian sedikit sebelum menerapkan analisis node. Rangkaian modifikasi dan penyelesaiannya dengan analisis node disebut analisis supernodal atau supernode.

Setelah mempelajari metode analisis ini, kita tidak perlu lagi menghindari penggunaan analisis node untuk rangkaian yang memiliki sumber tegangan.

Baca topik ini secara menyeluruh untuk memahami sepenuhnya tentang analisis supernode, contoh supernode dan pemecahan masalah, dan tentu saja beberapa contoh supernode untuk membantu kita mengingat cara menggunakannya.

Karena disebut analisis supernode, beberapa dari kalian mungkin berpikir bahwa metode ini lebih sulit daripada analisis node. Bahkan jika kita harus memodifikasi rangkaian, analisis supernode ini semudah analisis node.

Mari kita mulai langsung dengan teorinya. Kita juga akan belajar tentang masalah analisis supernode dengan solusi.

Teori Analisis Supernode

Sesuai dengan namanya, supernode masih dianggap sebagai analisis node karena fokus utamanya masih node. Apakah analisis node lebih mudah digunakan daripada analisis supernode? Mereka akan digunakan untuk kasus yang berbeda sehingga kita tidak bisa mengatakan mana yang lebih mudah. Ini hanya analisis node dengan supernode.

Analisis node terlihat lebih sederhana tetapi hanya terbatas pada sumber arus dalam rangkaian, tanpa sumber tegangan tunggal. Inilah sebabnya mengapa kita tidak dapat bergantung pada ini untuk menyelesaikan rangkaian dengan sumber tegangan. Di sinilah analisis supernode dimulai.

Mari kita amati rangkaian di bawah ini dan temukan perbedaannya dengan rangkaian sebelumnya yang kita miliki dalam analisis node.

Apakah kalian melihat perbedaannya?

Rangkaian di atas hanya memiliki sumber tegangan tanpa sumber arus tunggal. Apa yang bisa kita dapatkan dari rangkaian? Apa yang dimaksud dengan supernode dalam rangkaian?

Rangkaian di atas memiliki dua kasus:

KASUS 1 – Amati sumber 10V di cabang paling kiri yang terhubung ke node non referensi v₁ dan node referensi (node ground).

Kasus ini sangat sederhana, kita tidak perlu melakukan modifikasi atau analisis lanjutan. Karena hanya ada sumber tegangan yang terhubung antara dua node ini, tegangan node v₁ memiliki nilai yang sama dengan sumber tegangan.

$\begin{align*}v_{1}=10V\end{align*}$

Sumber tegangan tunggal di cabang benar-benar membuatnya sederhana dengan pengetahuan tentang tegangan ini.

Kasus kedua akan membutuhkan upaya ekstra untuk diselesaikan karena ada sumber tegangan antara dua node non referensi v₂ dan v₃. Kedua node ini akan membentuk apa yang kita sebut generalized node atau supernode. Kita masih dapat menggunakan KCL dan KVL untuk menghitung tegangan node.

Untuk mendefinisikan supernode, perlu diingat bahwa:

Supernode terbentuk ketika sumber tegangan dihubungkan antara dua node non referensi dan elemen apa pun yang terhubung secara paralel dengannya.

Seperti yang kita pelajari tentang analisis node, kita hanya perlu menggunakan KCL untuk menemukan arus yang mengalir di setiap cabang atau elemen.

Tetapi untuk supernode, tidak mungkin untuk menghitung berapa banyak arus yang mengalir melalui sumber tegangan. Apa yang bisa kita lakukan? Kita dapat menggunakan metode apapun untuk menghitung ini tetapi pastikan untuk memenuhi KCL pada supernode sama seperti node lainnya.

Pertama kita tulis persamaan KCL untuk rangkaian di atas,

$\begin{align*}i_{1}+i_{4}&=i_{2}+i_{3}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{2}+\frac{v_{1}-v_{3}}{4}&=\frac{v_{2}-0}{8}+\frac{v_{3}-0}{6}\end{align*}$

Kemudian kita menggunakan KVL untuk supernode. Namun sebelum itu, kita harus menggambar ulang rangkaian seperti gambar di bawah ini.

Loop searah jarum jam memberikan:

$\begin{align*}-v_{2}+5+v_{3}&=0\\v_{2}-v_{3}&=5\end{align*}$

Setelah kita mendapatkan persamaan, menghitung tegangan node akan lebih mudah sekarang. Setelah mempelajari sampai pada titik ini, kita perlu mengingat sifat-sifat analisis supernode di bawah ini:

Sumber tegangan di dalam supernode memberikan persamaan yang hilang untuk menyelesaikan semua tegangan node.
Supernode tidak memiliki tegangan sendiri.
Supernode membutuhkan aplikasi KCL dan KVL.

Prosedur untuk Analisis Supernode

Prosedur untuk analisis supernode tidak akan berbeda dengan prosedur analisis node yang telah kita pelajari sebelumnya seperti:

Identifikasi semua node di rangkaian termasuk supernode.
Tetapkan node sebagai node referensi. Biasanya berfungsi sebagai ground jadi tambahkan saja simbol ground ke dalamnya.
Tetapkan tegangan node ke node lain (v₁, v₂, v₃, dll).
Lepaskan sumber tegangan dari rangkaian terlebih dahulu.
Tulis persamaan supernode KCL (arus yang masuk ke supernode sama dengan arus yang keluar dari supernode).
Gunakan persamaan KVL untuk loop di mana sumber tegangan ada jika kalian perlu menemukan hubungan dua node di mana sumber tegangan ada. (Untuk melengkapi persamaan yang hilang).
Tulis semua persamaan KCL yang dapat kalian temukan (jadikan jumlah arus yang keluar dari cabang sama dengan nol).
Gunakan substitusi, eliminasi, aturan Cramer, dll.

Untuk mempermudah, langsung saja ke contoh di bawah ini. Selamat bersenang-senang!

Contoh Analisis Supernode

Sekarang kita akan mencoba memahami lebih baik dari masalah supernode dengan jawaban di bawah ini.

1. Amati rangkaian di bawah ini dan temukan tegangan node.

Solusi:

Seperti yang kita baca sebelumnya, supernode terbentuk ketika sumber tegangan dihubungkan antara dua node non referensi dan elemen apapun yang terhubung secara paralel dengannya. Dalam kasus kita, supernode terdiri dari sumber 2V, node 1 dan 2, dan resistor 10Ω. Kita menghapusnya untuk menggambar ulang rangkaian di bawah ini:

Kita menggunakan KCL untuk supernode di atas dan kita mendapatkan

$\begin{align*}2=i_{1}+i_{2}+7\end{align*}$

Menulis persamaan KCL untuk i₁ dan i₂ menggunakan variabel tegangan node memberikan,

(1.1) $\begin{align*}2&=\frac{v_{1}-0}{2}+\frac{v_{2}-0}{4}+7\\8&=2v_{1}+v_{2}+28\\v_{2}&=-20-v_{1}\end{align*}$

Kita masih kehilangan hubungan antara v₁ dan v₂, kita akan menggunakan KVL ke rangkaian di bawah ini.

Dari loop searah jarum jam, kita mendapatkan

(1.2) $\begin{align*}-v_{1}-2+v_{2}&=0\\v_{2}&=v_{1}+2\end{align*}$

Dari Persamaan.(1.1) dan (1.2) kita peroleh

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}+2&=-20-2v_{1}\\3v_{1}=-22 \quad&\rightarrow\quad v_{1}=-7.333V\end{align*}$

kita mendapatkan

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}+2=-5.333V\end{align*}$

Perhatikan bahwa keberadaan resistor 10Ω tidak akan melakukan apa-apa karena hanya terhubung di supernode.

2. Temukan tegangan node pada rangkaian di bawah ini. Rangkaian ini akan memakan waktu lebih lama karena kita akan melakukan analisis node dengan 2 supernode.

Solusi:

Ada dua supernode di rangkaian, yaitu node 1 dan 2, juga node 3 dan 4. Amati rangkaian di atas dan gunakan KCL untuk dua supernode.

Untuk supernode 1 dan 2,

$\begin{align*}i_{3}+10=i_{1}+i_{2}\end{align*}$

Menggunakan istilah tegangan node untuk supernode persamaan 1-2 memberikan,

(2.1) $\begin{align*}\frac{v_{3}-v_{2}}{6}+10=\frac{v_{1}-v_{4}}{3}+\frac{v_{1}}{2}\\5v_{1}+v_{2}-v_{3}-2v_{4}=60\end{align*}$

Untuk supernode 3-4 kita memiliki persamaan KCL bersama dengan tegangan nodenya,

(2.2) $\begin{align*}i_{1}&=i_{3}+i_{4}+i_{5}\\\frac{v_{1}-v_{4}}{3}&=\frac{v_{3}-v_{2}}{6}+\frac{v_{4}}{1}+\frac{v_{3}}{4}\\4v_{1}+2v_{2}&-5v_{3}-16v_{4}=0\end{align*}$

Selanjutnya kita gunakan KVL untuk cabang-cabang yang memiliki sumber tegangan seperti gambar dibawah ini.

Untuk loop 1,

(2.3) $\begin{align*}-v_{1}+20+v_{2}&=0\\v_{1}-v_{2}&=20\end{align*}$

Untuk loop 2,

$\begin{align*}-v_{3}+3v_{x}+v_{4}=0\end{align*}$

Jangan lupa bahwa

$\begin{align*}v_{x}=v_{1}-v_{4}\end{align*}$

lalu

(2.4) $\begin{align*}3v_{1}-v_{3}-2v_{4}=0\end{align*}$

Untuk loop 3,

$\begin{align*}v_{x}-3v_{x}+6i_{3}-20=0\end{align*}$

Kita ketahui

$\begin{align*}6i_{3}&=v_{3}-v_{2}\\v_{x}&=v_{1}-v_{4}\end{align*}$

Lalu,

(2.5) $\begin{align*}-2v_{1}-v_{2}+v_{3}+2v_{4}=20\end{align*}$

Untuk menyelesaikan semua persamaan yang kita miliki, kita membutuhkan hasil dari empat tegangan node (v₁, v₂, v₃, dan v₄). Semua Persamaan.(2.1) hingga (2.5) yang kita dapatkan sebelumnya, kita hanya perlu empat untuk menyelesaikan persamaan yang tersisa. Persamaan kelima hanyalah tambahan, dapat digunakan untuk memeriksa ulang perhitungan kita.

Substitusi Persamaan.(2.3) menjadi (2.1) dan (2.2) masing-masing menghasilkan

(2.6) $\begin{align*}6v_{1}-v_{3}-2v_{4}=80\end{align*}$

dan

(2.7) $\begin{align*}6v_{1}-5v_{3}-16v_{4}=40\end{align*}$

Persamaan.(2.4), (2.6), dan (2.7) dapat diselesaikan menggunakan bentuk matriks seperti yang ditunjukkan di bawah ini

$\begin{align*}\begin{bmatrix}3 & -1 & -2 \\6 & -1 & -2 \\6 & -5 & -16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{3}\\v_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\80\\40\end{bmatrix}\end{align*}$

Kemudian kita menggunakan aturan Cramer dan mendapatkan

$\begin{align*}\Delta&=\begin{vmatrix}3 & -1 & -2 \\6 & -1 & -2 \\6 & -5 & -16\end{vmatrix}=-18\\\\\Delta_{1}&=\begin{vmatrix}0 & -1 & -2 \\80 & -1 & -2 \\40 & -5 & -16\end{vmatrix}=-480\\\\\Delta_{3}&=\begin{vmatrix}3 & 0 & -2 \\6 & 80 & -2 \\6 & 40 & -16\end{vmatrix}=-3120\\\\\Delta_{4}&=\begin{vmatrix}3 & -1 & 0 \\6 & -1 & 80 \\6 & -5 & 40\end{vmatrix}=840\end{align*}$

Oleh karena itu, tegangan node adalah

$\begin{align*}v_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-480}{-18}=26.67V\\v_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-3120}{-18}=173.33V\\v_{4}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{840}{-18}=-46.67V\end{align*}$

dan

$\begin{align*}v_{2}=v_{1}-20=6.667V\end{align*}$

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu supernode?

Supernode terbentuk ketika sumber tegangan dihubungkan antara dua node non referensi dan elemen apapun yang terhubung secara paralel dengannya.

Apa itu analisis supernode?

Analisis supernode adalah analisis node ketika sumber tegangan ada di antara dua node nonreferensi. Analisis ini akan memanipulasi rangkaian untuk memberikan persamaan tambahan untuk menemukan variabel yang tidak diketahui.

Kapan menggunakan supernode?

Supernode digunakan ketika sumber tegangan ada di antara dua node nonreferensi dan elemen apa pun yang terhubung secara paralel dengannya.