Rangkaian Analisis Node dan Contoh - Wira Electrical Engineering Portal

Jika persamaan tidak ditampilkan dengan benar, silakan gunakan tampilan desktop

Analisis tegangan node menemukan tegangan turun di sekitar rangkaian antara node yang berbeda. Node ini menyediakan koneksi umum untuk dua atau lebih komponen rangkaian.

KCL dan KVL hampir cukup untuk menganalisis rangkaian listrik dengan lebih sedikit kerumitan. Kita akan mendapatkan lebih banyak persamaan jika kita menggunakan KVL dan KCL untuk rangkaian dengan cabang, node, dan elemen yang lebih kompleks.

Anda akan membebani diri Anda dengan banyak persamaan untuk dipecahkan.

Apa yang akan kita lakukan? Akan banyak pekerjaan jika kita harus menggunakan eliminasi dan substitusi untuk lebih dari 4 persamaan.

Di sinilah kita akan menggunakan tiga teknik yang kuat untuk analisis rangkaian:

Kita akan meninggalkan analisis mesh untuk posting selanjutnya. Sekarang, mari kita fokus pada Analisis Tegangan Node atau Rangkaian Analisis Node.

Sesuai dengan namanya, kita akan menggunakan metode tegangan node sehubungan dengan Ground, kita menyebutnya Analisis Tegangan Node.

Apa itu Analisis Node

Rangkaian analisis node saling melengkapi dengan rangkaian analisis mesh. Rangkaian analisis node menggunakan hukum Kirchhoff pertama, hukum Kirchhoff saat ini (KCL). Seperti yang kita sebutkan di atas, namanya menyiratkan bahwa kita menggunakan tegangan node dan menggunakannya bersama dengan KCL.

Analisis node mengharuskan kita untuk menghitung tegangan node di setiap node sehubungan dengan tegangan ground (node referensi), maka kita menyebutnya metode node-voltage.

Analisis node didasarkan pada aplikasi sistematis hukum Kirchhoff saat ini (KCL). Dengan teknik ini, kita akan dapat menganalisis rangkaian linier apa pun.

Apa saja yang perlu Anda persiapkan sebelum menggunakan metode ini? Perlu diingat bahwa kita akan mendapatkan persamaan ‘n-1′, di mana n adalah jumlah node termasuk node referensi. Menggunakan metode analisis rangkaian ini berarti kita akan fokus pada tegangan node di rangkaian.

Sifat rangkaian analisis node:

Rangkaian analisis node menggunakan hukum arus Kirchhoff (KCL)
Untuk node ‘n‘ (termasuk node referensi) akan ada persamaan tegangan node independen ‘n-1′
Memecahkan semua persamaan akan memberi kita nilai tegangan node
Jumlah node (kecuali node non-referensi) sama dengan jumlah persamaan tegangan node yang bisa kita dapatkan.

Apa itu Tegangan Node

Sebelum melanjutkan, mari kita definisikan ‘apa itu tegangan node’.

Perhatikan pada rangkaian di atas, di mana v₁, v₂, dan v₃ adalah tegangan node, menghubungkan node yang sesuai dengan elemen/s dan node lain.

Tidak hanya itu, kita juga perlu mendefinisikan node referensi (ground), maka node ini selalu disebut node ground. Jadi, tegangan node ini adalah 0 V.

Kita telah membaca banyak tentang tegangan node. Tapi apa sebenarnya tegangan node itu?

Tegangan node berarti perbedaan potensial (tegangan) antara dua node di mana elemen atau cabang berada. Analisis node memberi kita persamaan matematis untuk setiap node non-referensi dimana jumlah arus dalam node adalah nol.

Ada dua jenis node:

Node referensi: node referensi adalah node dasar
Node non-referensi: tegangan node yang digunakan untuk menyelesaikan rangkaian (v₁, v₂, v₃,… , v_n)

Analisis node dengan resistor

Yang ini adalah yang paling dasar karena hampir setiap rangkaian akan mengandung setidaknya satu resistor. Asumsikan bahwa kita memiliki resistor antara dua node dan arus mengalir dari node V₁ ke V₂:

Dan kita peroleh persamaan:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Itu adalah persamaan untuk resistor antara node.

Bagaimana jika node 2 adalah ground (node referensi) seperti yang ditunjukkan di bawah ini?

Persamaannya akan sama seperti di atas, tetapi kita akan mengatur V₂ ke 0 karena ini adalah node ground.

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-0}{R}=\frac{V_{1}}{R}\end{align*}$

Analisis node dengan sumber tegangan

Seringkali cabang terdiri dari sumber tegangan dalam resistor seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Kita perlu menjaga polaritas sumber tegangan. Dari gambar di atas, polaritas positif sumber tegangan berhadapan dengan V₁ dan I. Artinya arus dari sumber tegangan mengalir melawan I dan V₁. Persamaannya akan menjadi:

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}-V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Jika sumber tegangan menghadap ke kanan, berarti arus I akan dijumlahkan dengan arus dari Vs.

Karenanya,

$\begin{align*}I=\frac{V_{1}+V_{s}-V_{2}}{R}\end{align*}$

Jika V₂ adalah node referensi, Anda hanya perlu mengatur V₂ ke 0 seperti sebelumnya.

Analisis node dengan sumber arus

Kita menggunakan analisis node untuk mendapatkan pekerjaan dengan KCL di mana, memperoleh persamaan arus menggunakan tegangan node yang diketahui. Apa yang akan terjadi jika ada sumber arus? Ini akan membuat persamaan kita lebih sederhana. Pertama, perhatikan gambar di bawah ini.

Kita mengatur baik I₁ dan I₂ meninggalkan node V₁ sementara sumber arus memasuki node V₁. Dari KCL, arus yang keluar dari suatu node sama dengan arus yang masuk ke node tersebut.

Persamaannya akan menjadi:

$\begin{align*}I_{s}&=I_{1}+I_{2}\\I_{s}&=\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}\end{align*}$

Jika sumber arus meninggalkan node V₁, persamaannya adalah:

$\begin{align*}-I_{s}+I_{1}+I_{2}&=0\\-I_{s}+\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{1}}{R_{2}}&=0\end{align*}$

Prosedur Rangkaian Analisis Node

Perhatikan rangkaian di bawah ini untuk latihan pertama kita. Rangkaian ini memiliki tiga resistor dan dua sumber arus yang semuanya terhubung secara paralel. Mengapa kita hanya menggunakan sumber arus? Di akhir topik ini Anda akan mendapatkan jawaban mengapa kita hanya menggunakan sumber arus.

Selanjutnya,

Langkah pertama adalah mendefinisikan sebuah node sebagai node referensi atau datum atau node ground. Node referensi biasanya disebut ground karena diasumsikan memiliki potensial nol.

Langkah kedua, kita menetapkan penunjukan tegangan ke node referensi.

Lihat di bawah di mana node 0 adalah node referensi (v = 0), sedangkan node 1 dan 2 masing-masing diberi tegangan v₁ dan v₂.

Ingat, tegangan node didefinisikan sehubungan dengan node referensi. Setiap tegangan node adalah kenaikan tegangan dari node referensi ke node non-referensi atau hanya dari node tegangan ke node referensi.

Langkah ketiga adalah menerapkan KCL ke setiap node non-referensi di rangkaian. Kita menggunakan i₁, i₂, dan i₃ sebagai arus yang mengalir melalui resistor R₁, R₂, dan R₃ masing-masing.

Pada node 1 kita menerapkan KCL dan memberikan

$\begin{align*}I_{1} = I_{2} + i_{1} + i_{2}\end{align*}$

Pada node 2 memberikan

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} = i_{3}\end{align*}$

Kita menerapkan hukum Ohm untuk menyatakan nilai yang tidak diketahui dari i₁, i₂, dan i₃ dalam hal tegangan node.

Karena resistansi adalah elemen pasif, menggunakan konvensi tanda pasif, arus harus selalu mengalir dari potensial yang lebih tinggi ke potensial yang lebih rendah.

Arus mengalir dari potensial yang lebih tinggi ke potensial yang lebih rendah dalam sebuah resistor.

Kita dapat menggunakan prinsip ini sebagai,

$\begin{align*}i = \frac{v_{higher}-v_{lower}}{R}\end{align*}$

Kita memperoleh arus dari,

$\begin{align*}i_{1} = \frac{v_{1}-0}{R_{1}} \quad , \quad i_{1}=G_{1}v_{1}\\i_{2} = \frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}} \quad , \quad i_{2}=G_{2}(v_{1}-v_{2})\\i_{3} = \frac{v_{2}-0}{R_{3}} \quad , \quad i_{3}=G_{3}v_{2}\end{align*}$

Substitusi persamaan i₁, i₂, dan i₃ ke persamaan KCL pada node 1 dan 2 menghasilkan

$\begin{align*}I_{1}& = I_{2} + i_{1} + i_{2}\\I_{1}&=I_{2}+\frac{v_{1}}{R_{1}}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}\end{align*}$

Dan

$\begin{align*}I_{2} + i_{2} &= i_{3}\\I_{2}+\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{2}}&=\frac{v_{2}}{R_{3}}\end{align*}$

Mengganti dengan konduktansi, dua persamaan di atas menjadi

$\begin{align*}I_{1}=I_{2}+G_{1}v_{1}+G_{2}(v_{1}-v_{2})\\\end{align*}$

Dan

$\begin{align*}I_{2}+G_{2}(v_{1}-v_{2})=G_{3}v_{2}\end{align*}$

Langkah keempat adalah menyelesaikan dengan tegangan node. Menerapkan KCL ke n – 1 node non referensi, kita memperoleh n – 1 persamaan simultan.

Untuk rangkaian pada contoh di atas, kita menyelesaikan semua persamaan untuk mendapatkan tegangan node v₁ dan v₂ menggunakan metode standar apa pun seperti metode substitusi, metode eliminasi, aturan Cramer, atau inversi matriks.

Untuk saat ini kita akan menggunakan bentuk matriks sebagai

$\begin{align*}\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2} & -G_{2} \\-G_{2} & G_{2}+G_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{1}-I_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}\end{align*}$

yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan v₁ dan v₂.

Harap perhatikan bahwa kita akan menemukan resistor, sumber tegangan, dan sumber arus di rangkaian. Akan ada perlakuan khusus pada sumber tegangan dan sumber arus.

Contoh Analisis Node

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita tinjau beberapa contoh di bawah ini:

1. Hitung tegangan node pada rangkaian di bawah ini.

Solusi:

Pertimbangkan rangkaian di bawah ini di mana rangkaian di atas telah disiapkan untuk analisis node. Arus telah dipilih untuk KCL kecuali untuk cabang dengan sumber arus.

Pelabelan arus sewenang-wenang tetapi konsisten. (Konsisten berarti jika, misalnya, i₂ memasuki resistor 4 dari sisi kiri, i₂ harus meninggalkan resistor dari sisi kanan).

Node referensi dipilih dan tegangan node v₁ dan v₂ sekarang ditentukan.

Pada node 1, menerapkan hukum KCL dan Ohm memberikan

$\begin{align*}i_{1}&=i_{2}+i_{3}\\5&=\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+\frac{v_{1}-0}{2}\end{align*}$

Mengalikan setiap suku dalam persamaan terakhir dengan 4, kita memperoleh

$\begin{align*}20=v_{1}-v_{2}+2v_{1}\end{align*}$

atau

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

Pada node 2, kita melakukan hal yang sama dan mendapatkan

$\begin{align*}i_{2}+i_{4}&=i_{1}+i_{5}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{4}+10&=5+\frac{v_{2}-0}{6}\end{align*}$

Mengalikan setiap suku dengan 12 hasil

$\begin{align*}3v_{1}-3v_{2}+120=60+2v_{2}\end{align*}$

atau

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

Sekarang kita memiliki dua persamaan simultan dan kemudian kita dapat menyelesaikannya menggunakan metode apa pun untuk mendapatkan v₁ dan v₂.

Metode 1

Menggunakan metode eliminasi memberikan

$\begin{align*}4v_{2}=80\Rightarrow v_{2}=20V\end{align*}$

Substitusikan hasil di atas dengan

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

menghasilkan

$\begin{align*}3&v_{1}-20=20\\&v_{1}=\frac{40}{30}=13.333V\end{align*}$

Metode 2

Gunakan aturan Cramer, kita menempatkan

$\begin{align*}3v_{1}-v_{2}=20\end{align*}$

And

$\begin{align*}-3v_{1}+5v_{2}=60\end{align*}$

Jadi

$\begin{align*}\begin{bmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20\\60\end{bmatrix}\end{align*}$

Determinannya adalah

$\begin{align*}\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -3 & 5\end{vmatrix}=15-3=12\end{align*}$

Kita sekarang mendapatkan tegangan sebagai

$\begin{align*}v_{1}=\frac{\triangle_{1}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}20 & -1 \\60 & 5\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{100+60}{12}=13.333V\end{align*}$

$\begin{align*}v_{2}=\frac{\triangle_{2}}{\triangle}=\frac{\begin{vmatrix}3 & 20 \\-3 & 60\end{vmatrix}}{\triangle}=\frac{180+60}{12}=20V\end{align*}$

2. Tentukan tegangan pada node-node rangkaian di bawah ini.

Solusi:

Dalam contoh ini, kita akan membutuhkan tiga node non referensi, bukan hanya dua. Kita menetapkan tiga node seperti yang dapat dilihat di atas

Pada node 1,

$\begin{align*}3&=i_{1}+i_{x}\\3&=\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{1}-v_{2}}{2}\end{align*}$

Mengalikan dengan 4 dan mengatur ulang suku, kita mendapatkan

(1) $\begin{align*}3v_{1}-2v_{2}-v_{3}=12\end{align*}$

Pada node 2,

$\begin{align*}i_{x}&=i_{2}+i_{3}\\\frac{v_{1}-v_{2}}{2}&=\frac{v_{2}-v_{3}}{8}+\frac{v_{2}-0}{4}\end{align*}$

Mengalikan dengan 8 dan mengatur ulang suku, kita peroleh

(2) $\begin{align*}-4v_{1}+7v_{2}-v_{3}=0\end{align*}$

Pada node 3,

$\begin{align*}i_{1}+i_{2}&=2i_{x}\\\frac{v_{1}-v_{3}}{4}+\frac{v_{2}-v_{3}}{8}&=\frac{2(v_{1}-v_{2})}{2}\end{align*}$

Mengalikan dengan 8, mengatur ulang suku, dan membagi dengan 3, kita mendapatkan

(3) $\begin{align*}2v_{1}-3v_{2}+v_{3}=0\end{align*}$

Dengan metode eliminasi, kita tambahkan (1) dan (3).

(4) $\begin{align*}5v_{1}-5v_{2}&=12\\v_{1}-v_{2}&=\frac{12}{5}=2.4\end{align*}$

Menambahkan (2) dan (3) memberikan

(5) $\begin{align*}-2v_{1}+4v_{2}&=0\\v_{1}&=2v_{2}\end{align*}$

Substitusi (5) ke (4) kita peroleh

$\begin{align*}2v_{2}-v_{2}&=2.4V\\v_{2}&=2.4V\\v_{1}&=2v_{2}=4.8V\end{align*}$

Dari (3), kita dapatkan

$\begin{align*}v_{3}&=3v_{2}-2v_{1}\\&=3v_{2}-4v_{2}\\&=-v_{2}=-2.4V\end{align*}$

Jadi,

$\begin{align*}v_{1}&=4.8V\\v_{2}&=2.4V\\v_{3}&=-2.4V\end{align*}$

Selanjutnya kita akan belajar tentang analisis tegangan supernode dimana kita akan bertemu dengan sumber tegangan saat menyelesaikan rangkaian dengan analisis node.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang dimaksud dengan analisis node?

Rangkaian analisis node adalah suatu metode penghitungan tegangan node antar node untuk mendapatkan arus cabang.

Bagaimana Anda melakukan analisis node?

1. Tentukan semua node
2. Pilih node referensi (ground)
3. Hitung semua tegangan node
4. Tulis dan selesaikan semua persamaan KCL

Apa keterbatasan analisis node?

Meskipun merupakan metode yang kuat, rangkaian analisis node membutuhkan eksekusi yang lebih kompleks saat ada sumber tegangan dan sumber tak bebas.

Apa itu Analisis Node

Apa itu Tegangan Node

Analisis node dengan resistor

Analisis node dengan sumber tegangan

Analisis node dengan sumber arus

Prosedur Rangkaian Analisis Node

Contoh Analisis Node

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang dimaksud dengan analisis node?

Bagaimana Anda melakukan analisis node?

Apa keterbatasan analisis node?

Tinggalkan komentar Batalkan balasan